1.2 空间向量在立体几何中的应用 练习——2023-2024学年高中数学人教B版（2019）选择性必修第一册（含解析）

1.2 空间向量在立体几何中的应用 练习 一、单选题 1．如图所示，正方体中，M，N分别为棱的中点，以下四个结论中正确的是（ ） A．直线MN与互相垂直 B．直线AM与BN互相平行 C．直线MN与所成角为90° D．直线MN垂直于平面 2．如图，在菱形中，，线段，的中点分别为，，现将沿对角线翻折，则异面直线与所成的角的取值范围是 A． B． C． D． 3．如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F分别是上底棱的中点，则点A到平面B1D1EF的距离为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．正方形沿对角线折成直二面角，下列结论：①与所成的角为：②与所成的角为：③与面所成角的正弦值为：④二面角的平面角正切值是：其中正确结论的个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 5．如图，三棱锥中，底面ABC与侧面VAC都是以AC为斜边的等腰直角三角形，且侧面VAC垂直底面ABC，设E为线段AC的中点，F为直线AB上的动点，若平面VEF与平面VBC所成锐二面角的平面角为，则的最大值是（ ） A． B． C． D． 6．已知正四棱柱中，，，点为的中点，则异面直线与所成的角等于（ ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为4，E为棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A． B． C． D．3 8．已知长方体中，，为侧棱上的一点，且，则直线与平面所成角的余弦值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（－1，3，1），则正确的有（ ） A．与是共线向量 B．平面ABC的一个法向量是（1，－1，3） C．与夹角的余弦值是 D．与方向相同的单位向量是（1，1，0） 10．有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共截去八个三棱锥，则关于该半正多面体的下列说法中正确的是（ ） A．该半正多面体的外接球与原正方体的外接球半径相等 B．与所成的角是的棱共有18条 C．与平面所成的角 D．若点为线段上的动点，直线与直线所成角的余弦值的取值范围为 11．已知正方体的棱长为2，P，Q分别为棱，的中点，M为线段BD上的动点，则（ ） A． B． C．三棱锥的体积为定值 D．M为BD的中点时，则二面角的平面角为60° 12．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，，，，下列结论中正确的是（ ） A．AP⊥AB B．存在实数λ，使 C．是平面ABCD的法向量 D．四边形ABCD的面积为 三、填空题 13．斜三棱柱中，平面平面，若，，，在三棱柱内放置两个半径相等的球，使这两个球相切，且每个球都与三棱柱的三个侧面及一个底面相切，则三棱柱的高为 ． 14．在棱长为2的正方体中，O为平面的中心，E为BC的中点，则点O到直线的距离为 . 15．已知平面，四边形是矩形，为定长，当的长度变化时，异面直线与所成角的取值范围是 ． 16．正方体棱长为2，N是棱AD的中点，M是棱的中点，则直线BM与之间的距离为 . 四、解答题 17．如图，且且且平面． (1)若为的中点，为的中点，求证：平面； (2)求平面和平面夹角的正弦值； (3)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求点到平面的距离． 18．我们知道，在平面中，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线．如点在直线l上，为直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点满足：，化简可得，即为直线l的方程．类似地，在空间中，给定一点和一个平面的法向量可以唯一确定一个平面． (1)若在空间直角坐标系中，，请利用平面的法向量求出平面的方程； (2)试写出平面（A，B，C不同时为0）的一个法向量（无需证明），并证明点到平面的距离为． 参考答案 1．A 【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标法逐项分析即得. 【详解】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱 ... ...