(
课件网) 7.5.1 三角形内角和定理 平行线的性质 性质定理 命题证明步骤 两直线平行，同位角相等 根据题意画出图形 根据题意写出已知及求证 写出证明过程 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补 知识回顾 学习目标 1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于180°. 2.应用三角形内角和定理解决相关问题. 课堂导入 我们知道三角形三个内角的和等于180°. 你还记得这个结论的探索过程吗 如图，当时我们是把∠A移到了∠1的位置，∠B移到了∠2的位置. 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 新知探究 已知:如图，△ABC . 求证:∠A +∠B +∠C =180°. 分析：延长BC到D，过点C作射线CE∥AB，这样，就相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置. A B C 证明：作BC的延长线CD，过点C作CE∥AB，则 你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗 ∠1=∠A( 两直线平行，内错角相等 ), ∠2= ∠B( 两直线平行，同位角相等 ). 又∵∠1+∠2+∠3=180° (平角的定义), ∴ ∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换). A B C E 2 1 3 D 三角形内角和定理 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. A B C 如图，△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°. 定理 想一想 在证明三角形内角和定理时，小明的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线PQ∥BC(如图)，他的想法可以吗 A B C P Q 证明：如图，过点A作PQ∥BC，则 A B C ∠1=∠B( 两直线平行,内错角相等 ), ∠2=∠C( 两直线平行,内错角相等 ), ∵∠1+∠2+∠3=180° ( 平角的定义 ), ∴ ∠BAC+∠B+∠C=180° ( 等量代换 ). 1 2 3 P Q 你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗 证明：如图，过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC，(两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°,∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. C B A D E F 多种方法证明的核心是什么？ 思考 A B 1 2 3 4 5 l A C B l P m 1 2 3 4 5 6 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. 总结 为了证明三个角的和为180°,转化为一个平角或同旁内角等，这种转化思想是数学中的常用方法. 例1 如图，在△ABC中,∠BAC=40 °,∠B=75 °,AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数. 解：因为AD是△ABC的角平分线， 所以∠BAD= ∠BAC=20 °. 在△ABD中，∠ADB=180°﹣∠B﹣∠BAD =180°﹣75°﹣20° =85°. A B C D 例2 如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D. 解：∵DE⊥AB，∴∠FEA＝90°． ∵在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°， ∴∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝60°. 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴∠CFD＝60°. ∴在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°， ∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝40°. 由三角形的内角和定理易得∠A+∠B=∠C+∠D. 由三角形的内角和定理易得∠1+∠2=∠3+∠4. 模型总结 随堂练习 1. 在△ABC中，∠A=80°,∠B-∠C=40°，则∠C= . 2. ∠A=∠B+∠C，则这个三角形是 . 3. 直角三角形两锐角的平分线相交所成角的度数为（ ） A.45° B.135° C.45°或135° D.都不对 30° 直角三角形 C 4 在△ABC 中， ∠A 的度数是∠B 的度数的3倍，∠C 比∠B 大15°，求∠A，∠B，∠C的度数. 解: 设∠B为x°，则∠A为(3x)°，∠C为(x ＋ 15)°. 所以3x ＋ x ＋(x ＋ 15)＝ 180. 解 ... ...
