3.3 等比数列 教学内容：等比数列 教学目标： 1．理解等比数列的定义。 2．理解等比数列通项公式、前项和公式。 教学重难点： 重点：等比数列的通项公式、前项和的公式。 难点：等比数列的通项公式、前项和的公式的推导。 核心素养：数学抽象 教具准备：PPT 教学环节： 意图 复备 引例导入 （1）大家可能都吃过拉面，你观察过拉面是怎样拉成的吗？ 拉面馆的厨师将一根很粗的面条拉伸、捏合、再拉伸、再捏合， 如此反复，就拉成了许多根细面条。 想一想：一根粗面条经过捏合、拉伸7次后可拉出多少根面条？ 第1次是1根，经捏合、拉伸变为2根。于是， 第1次捏合、拉伸成21=2根； 第2次捏合、拉伸成22==4根； … 第7次捏合、拉伸成2== 128根。经过7次捏合、拉伸成的面条根数构成一个数列： 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128。 ① （2）中国古代著名学者庄子曾提出：“一尺之棰,日取其半, 万世不竭”。用现代语言叙述的意思是：一尺长的木棒，每日取其一半，永远取不完。这样，每日剩下的部分都是前一日的一半。如果我们把“一尺之棰”看作单位“1”，那么就可以得到一个数列： 1，… ② (二) 等比数列的定义与通项公式 提出问题， 导入新知，为学习新知识打基础。 教学环节： 意图 复备 从引例中我们可以看出，从第2项起数列①中的每一项与它的前一项的比都等于2；数列②中的每一项与它的前一项的比都等于。 因此，上述数列都具有这样共同的特征：从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数。 —般地，如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数q，即 那么，这个数列叫做等比数列，常数q叫做等比数列的公比。 引例中的两个数列都是等比数列，它们的公比分别是2和。 问题1 如果等比数列a1，a2，a3，…，an，…是等比数列，an, ,…，a2,a1的公比是多少？ 如果一个数列a1，a2，a3，…，an，…是等比数列，它的公比是q，即 a2=a1q， a3=a2q=(a1q)q=a1q2， a4=a3q=(a1q2)q=a1q3， a5=a4q=(a1q3)q=a1q4， … 由此可知，首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式可以表示为 an=a1 等比数列的通项公式给出了等比数列a1，an，q和n之间的关系。如果知道其中的三个量，就可以求出另一个量。 (三)例题讲解 例1 指出下列数列中的等比数列，并求出其公比和通项公式。 (1)1，-1，1，-1，…； (2) (3)3，3，3，3，…； -，1，-2，4，…。 学习新知，引导学生对问题进行探索，增强学生解决问题能力，突破学习重点。 巩固新知，通过例题深入理解。 教学环节： 意图 复备 分析：以上数列如果是等比数列就必须满足等比 数列的定义，即从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个非零常数，经检验可知，数列(1) (3) (4)是等比数列。 解：由等比数列的定义可以判定(1)(3)(4)是等比数列。 数列(1)中的公比q=-1，通项公式是=(—1； 数列(3)中的公比q=1，通项公式是=3； 数列⑷中的公比q=-2,通项公式是= (—) (-2= (—2。 例2 已知等比数列的首项是-5，公比是-2，求它的第6项。 解:∵a1=-5, q=-2，n=6， ∴a6=a1=(-5)=160。 例3 根据下列条件，分别求出等比数列的公比q。 (1) a1=-2, a5=-32； (2) a1=-2, a6=64。 分析：本题是已知a1，n，，求公比q。 解：(1) ∵a1=-2, a5=-32, ∴ (-2)·=-32， 即q4=16， ∴q=±2。 (2)∵a1=-2，a6=64， ∴(-2)·=64，即q5=-32， ∴q=-2。 例4 人民公园内有一座七层景观塔，为迎接国庆要在每一层上安装彩灯, 要求彩灯的数量从上层到下层成等比数列。第三层要安装48个彩灯，第四层要安装24个彩灯，问底层需要安装多少个彩灯？ 分析：设景观塔一至七层要安装的彩灯数量是a1，a2，…，a7，因为等比数列的a3，a4是已知的，所以可以通过求出公比q,再利用通项公式求 ... ...
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