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课件网) 第八单元 排列组合 8.5.2 二项式系数的性质 情境引入 概念形成 例题分析 巩固练习 小结作业 情境引入 我们把展开式中各项的二项式系数按如下方式排列. 上面右边的二项式系数称为“杨辉三角”. 情境引入 杨辉三角直观地呈现了二项展开式中二项式系数的性质. 从横向看, 每一行的二项式系数的排列规律由1逐渐增大再逐渐减小为1, 居中的二项式系数最大, 而且数值呈中心对称排列; 从纵向看, 除了最外侧的数值为1外, 其余任意一个数值均为其上一行离其最近的两数之和. 概念形成 一般地, 的展开式中的二项式系数具有如下性质. 二项式系数的性质 性质1 对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等, 即 . 性质2 增减性与最大值：二项式系数先由 1 逐渐增至最大, 再逐渐减小为1 , 居中的二项式系数最. 因此, 当n为偶数时, 中间一项的二项式系数最大, 为 ; 当n为奇数时, 中间两项的二项式系数最大, 为 与 . 概念形成 二项式系数的性质 性质3 所有的二项式系数之和为 , 即 证明 在 中, 取 a =1 , b =1 , 即可得. 性质4 所有奇数项的二项式系数之和等于所有偶数项的二项式系数之和, 即 证明 在 中, 取 a =1 , b =-1 , 可得 , 移项即可得. 例题分析 例1 求 的展开式中二项式系数最大的项. 解： 【分析】此题中n =8 , 展开式共有9项, 第5项的二项式系数 最大. 二项式系数最大的项为 例题分析 例2 若 ，求 . 【分析】此处 为展开式中各项的系数,当x =1时各项值即相应项的系数. 解： 取x =1 , 则 取x =0 , . 所以 . 例题分析 例3 已知 的展开式中所有二项式系数之和为128 , 求含x的项. 【分析】展开式中所有二项式系数之和为2n ,由 , 可得n =7. 再求展开式的通项公式并化简;然后根据 x 的指数为 1 ,可以得出 m 的值; 把m的值代回通项公式,即可求得常数项. 解： 由题意可得 ，所以n =7. 由 得，所以含x的项为 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值。 巩固练习 要求适合某种条件且与已知角终边相同的角，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k的值。 巩固练习 理解和掌握二项式系数的四个性质。 2.过程与方法 3.情感、态度与价值观 能解决二项式系数性质的相关简单问题。 通过二项式系数性质的推导与证明，让学生体会从特殊到一般的归纳推理的过程，提高分析问题、解决问题的能力。 1.知识与技能 小结作业 谢谢大家！
