讲座一反比例函数：专题07 反比例函数单元总结与例题讲析（原卷版＋解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024年人教版九年数学下册同步及知识拓展学讲练测讲义（全国通用） 讲座一 反比例函数 专题07 反比例函数单元总结与例题讲析 ( 课标要求 ) 1. 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式。 2. 能画出反比例函数的图像，根据图像和表达式 y =(k≠0)探索并理解k＞0和k＜0时，图像的变化情况。 3. 能用反比例函数解决简单实际问题。 ( 知识点解读 ) 1. 反比例函数的概念 定义：形如y=k/x (k为常数，k≠0) 的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k是比例 系数． 三种表达式方法：y=k/x 或 xy＝kx 或y＝kx－1 (k≠0)． 防错提醒：(1)k≠0；(2)自变量x≠0；(3)函数y≠0. 2.反比例函数的图象和性质 (1) 反比例函数的图象：反比例函数 y=k/x (k≠0)的图象是双曲线，它既是轴对称图形又是中心对称图形. 反比例函数的两条对称轴为直线y = x和y=－x； 对称中心是原点. （2）反比例函数的性质 （3）反比例函数比例系数 k 的几何意义 k 的几何意义：反比例函数图象上的点 (x，y) 具有两坐标之积 (xy＝k) 为常数这一特点，即过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数 |k|. 规律：过双曲线上任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴、原点所围成的三角形的面积为常数 |k|/2． 3. 反比例函数的应用 （1）利用待定系数法确定反比例函数： ① 根据两变量之间的反比例关系，设y=k/x； ② 代入图象上一个点的坐标，即 x、y 的一对对应值，求出 k 的值； ③ 写出解析式. （2）反比例函数与一次函数的图象的交点的求法 求直线 y＝k1x＋b (k1≠0) 和双曲线y=k2/x (k2≠0)的交点坐标就是解这两个函数解析式组成的方程组. （3）利用反比例函数相关知识解决实际问题 过程：分析实际情境→建立函数模型→明确数学问题 注意：实际问题中的两个变量往往都只能取非负值. ( 思维方法 ) 1.方法总结：比较反比例函数值的大小，在同一个象限内根据反比例函数的性质比较，在不同象限内，不能按其性质比较，函数值的大小只能根据特征确定． 2.方法总结：此类一次函数，反比例函数，二元一次方程组，三角形面积等知识的综合运用，其关键是理清解题思路. 在直角坐标系中，求三角形或四边形面积时，是要选取合适的底边和高，正确利用坐标算出线段长度. 3.学习反比例函数的性质，需要掌握下面四点: (1)x，y 的取值范围； (2)增减性； (3)对称性； (4)k的几何意义。 ( 考点 例题讲析 ) 【例题1】已知函数y＝(2m2＋m－1)x2m2+3m-3是反比例函数，求m的值．【例题2】已知变量y与x成反比例，且当x＝2时，y＝－6.求： (1)y与x之间的函数解析式； (2)当y＝2时，x的值． 【例题3】若正比例函数y＝－2x与反比例函数y＝图象的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为(　　) A．(2，－1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(－2，1) 【例题4】若M(－4，y1)、N(－2，y2)、P(2，y3)三点都在函数y＝(k＜0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为(　　) A．y2＞y3＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y3＞y1＞y2 D．y3＞y2＞y1 【例题5】（2023湖南湘潭）如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【例题6】（2023湖北天门）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的面积为_____． 【例题7】在某河治理工程施工过程中，某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数y(天)与每天完成的工程量x(m/天)的函数关系图象如图所示． (1)请根据题意，求y与x之间的函数表达式； (2)若该工程队有2台挖掘机，每台挖掘机每天能够开挖水渠15米，问该工程队需用多少天 ... ...