第二章 第04讲二次根式 第1课时 同步学与练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版

第04讲 二次根式（第1课时 定义与性质，8类热点题型讲练) 1.了解二次根式的概念；理解二次根式有意义的条件，会求二次根式的被开方数中所含字母的取值范围； 2.掌握二次根式的性质，能利用二次根式的性质进行化简； 3.掌握二次根式的乘法（除法）法则，能利用其进行计算，并能逆用法则进行化简． 知识点01 二次根式的相关概念 1.二次根式的定义：我们把形如（） 的式子叫做根式； 叫做被开方数；叫做二次根号；根式有意义的条件是：被开方数大于等于0，根式为零被开方数为0；如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 知识点02 二次根式的性质 二次根式的性质： ① ， （双重非负性） ， 知识点03 二次根式的乘除法 二次根式的乘法法则及逆用：； 二次根式的除法法则及逆用：； 二次根式的乘法法则的推广： ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数． 题型01 二次根式有意义的条件 【典例1】（2023春·广东肇庆·八年级统考期末） 1．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【变式1】（2023春·吉林·八年级统考期中） 2．若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是 ． 【变式2】（2023春·江苏·八年级期末） 3．使得有意义的x的取值范围是 ． 题型02 求二次根式的值 【典例1】（2023春·浙江温州·八年级校考期中） 4．当时，二次根式的值是 ． 【变式1】（2023春·浙江温州·八年级苍南县金乡镇第二中学校联考阶段练习） 5．当时，二次根式的值为 ． 【变式2】（2023春·福建龙岩·八年级统考期末） 6．当时，二次根式的值为 ． 题型03 求二次根式中的参数 【典例1】（2023春·辽宁营口·八年级校联考阶段练习） 7．是一个正整数，则的最小正整数是 ． 【变式1】（2023春·黑龙江齐齐哈尔·八年级统考期中） 8．若为整数，则x的最小正整数值为 ． 【变式2】（2022秋·八年级单元测试） 9．是整数，则正数的最小值是 题型04 利用二次根式的性质化简 【典例1】（2023春·新疆塔城·八年级校考期末） 10． ； ． 【变式1】（2023春·江苏·八年级期末） 11．计算： ； ． 【变式2】（2023春·河南信阳·八年级校考阶段练习） 12．化简： ． 题型05 二次根式的乘法 【典例1】（2023春·山东东营·八年级统考期末） 13．计算的结果是 ． 【变式1】（2023春·山西吕梁·八年级统考期末） 14．计算的结果是 【变式2】（2023春·湖北恩施·八年级校联考期中） 15．计算 ． 题型06 二次根式的除法 【典例1】（2023春·北京朝阳·八年级统考期末） 16．计算： ． 【变式1】（2023春·河北石家庄·八年级统考期末） 17．计算： ． 【变式2】（天津市河西区2022-2023学年八年级下学期期末数学试题） 18．计算的结果是 ． 题型07 二次根式的乘除混合运算 【典例1】（2023春·吉林·八年级统考期末） 19．计算：． 【变式1】（2023春·吉林·八年级统考期中） 20．计算：． 【变式2】（2023春·上海松江·七年级统考期末） 21．计算： 【变式3】（2023·全国·八年级假期作业） 22．计算：． 题型08 复合二次根式的化简 【典例1】（2022秋·八年级单元测试） 23．观察下面的运算，完成计算： (1) (2)． 【变式1】（2023春·湖南湘西·八年级统考阶段练习） 24．我们学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看成是一个数的平方，如，，下面我们观察： ；反之，∴． (1)直接写出答案：= ；= ． (2)化简：． (3)若，则a与的关系是什么？b与的关系又是什么？ 【变式2】（2023春·全国·八年级期中） 25．像，……这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简， 如：； 再如： ... ...