第一章 第04讲解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想 同步学与练（含解析）2023-2024学年八年级数学上册北师大版

第04讲 解题技巧专题：勾股定理与面积问题、方程思想 目录 【典型例题】 【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】 【考点二 结合乘法公式巧求面积或长度】 【考点三 巧妙割补求面积】 【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】 【考点五 几何图形中的方程思想—折叠问题（利用等边建立方程）】 【考点六 几何图形中的方程思想—公边问题（利用公边建立方程）】 【考点一 三角形中，利用面积求斜边上的高】 例题： 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是 ． 【变式训练】 2．一个直角三角形的两条直角边边长分别为6和8，则斜边上的高为（ ） A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5 （2022·黑龙江牡丹江·八年级期中） 3．在由边长为1的小正方形构成网格中的位置如图所示，则边上的高是（ ） A．5 B． C．6 D． （2022·全国·八年级课时练习） 4．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．点A、B，C都在格点上，若BD是△ABC的高，则BD的长为 ． 5．如图，在中，，，是的边上的高，且，，，求的边上的高． 6．如图，在中，，，在中，是边上的高，，． (1)求的长． (2)求斜边边上的高． 7．我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边交点为勾股顶点． （1）特例感知 如图1，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝3，CD＝1，试求线段AD的长度． （2）深入探究 如图2，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点且AC＞AB，AD是BC边上的高．试探究线段CD与AB的数量关系，并给予证明． 【考点二 结合乘法公式巧求面积或长度】 例题： 8．已知在中，所对的边分别为a，b，c，若，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】 9．在中，AD是BC边上的高，，则的面积为（ ） A．18 B．24 C．18或24 D．18或30 10．直角三边长分别是x，和5，则的面积为 ． 【考点三 巧妙割补求面积】 例题： 11．如图，是一块草坪，已知AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块草坪的面积． 【变式训练】 12．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝6，AD＝8，BC＝24，DC＝26，求四边形ABCD的面积． 13．如图，在5×5的方格纸中，每一个小正方形的边长都为1 （1）线段BC＝　 　，线段CD＝　 　； （2）求四边形ABCD的面积．（可以根据需要添加字母） 14．如图，方格纸中小正方形的边长为1，△ABC的三个顶点都在小正方形格点上， （1）边AC、AB、BC的长； （2）求△ABC的面积； （3）点C到AB边的距离 【考点四 “勾股树”及其拓展类型求面积】 例题： （2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末） 15．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别是6、10、4、6，则最大正方形E的面积是（ ） A．20 B．26 C．30 D．52 【变式训练】 （2023·广西柳州·校考一模） 16．如图，，正方形和正方形的面积分别是289和225，则以为直径的半圆的面积是（　　） A． B． C． D． （2023春·新疆阿克苏·八年级校考期中） 17．如图，三个正方形中的两个的面积，，则另一个的正方形的面积为 （2023春·全国·八年级专题练习） 18．如图，以的三边向外作正方形，其面积分别为且，则 ；以的三边向外作等边三角形，其面积分别为，则三者之间的关系为 ． （2023春·八年级课时练习） 19．已知：在中，，、、所对的边分别记作a、b、c．如图1，分别以的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作、、，则有， (1)如图2，分别以的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分、、，请问与有怎样的数量关系，并证明你的结论； (2)分别以直角三角形的三条边为直径作半圆， ... ...