2.3基本不等式及其应用 练习（含解析）

2.3基本不等式及其应用 练习 一、单选题 1．设x，y，，则三个数，，（ ） A．都大于2 B．至少有一个大于2 C．至少有一个不小于2 D．都小于2 2．的最小值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．拟设计一幅宣传画，要求画面（小矩形）面积为，它的两边都留有宽为的空白，顶部和底部都留有宽为的空白.当宣传画所用的纸张（大矩形）面积最小时，画面的高是（ ）. A．48 B．60 C．78 D．88 5．“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼 闵可夫斯基所创词汇，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（　　） A．若点，则 B．若点，则在轴上存在点，使得 C．若点，点在直线上，则的最小值是5 D．若点在圆上，点在直线上，则的值可能是4 6．已知a、b为正实数，，则（ ） A． B． C． D． 7．如图，矩形花园ABCD的边AB靠在墙PQ上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形花园的面积为4平方米，墙PQ足够长，则围成该花园所需要篱笆的（ ） A．最大长度为8米 B．最大长度为4米 C．最小长度为8米 D．最小长度为4米 8．新冠病毒疫情期间， 武汉物资紧缺，一批口罩、食物等救灾物资随辆汽车从某市以 km/h的速度匀速直达武汉灾区． 已知两地公路线长360km，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于km（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则（ ） A．70km/h B．80 km/h C．90 km/h D．100 km/h 二、多选题 9．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 10．已知，且，则下列四个不等式中，恒成立的为（ ） A． B． C．2 D． 11．已知且，则下列不等式成立的有（ ） A． B． C． D． 12．下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 13．若正实数满足，则的取值范围为 ． 14．已知，，若，则的取值范围是 ． 15．已知函数，则函数的最大值为 . 16．已知正实数a，b满足，则的最小值为 ． 四、解答题 17．已知实数，，的最小值为M． (1)求M的值； (2)求不等式的解集． 18．设函数. (1)若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； (2)解关于的不等式； (3)当时，记不等式的解集为，集合.若对于任意正数，求的最大值. 19．第二届中国（宁夏）国际葡萄酒文化旅游博览会于2022年9月6—12日在银川市成功举办，某酒庄带来了葡萄酒新品参展，与采购商洽谈，并计划大量销往海内外.已知该新品年固定生产成本40万元，每生产一箱需另投入100元.若该酒庄一年内生产该葡萄酒万箱且全部售完，每万箱的销售收入为万元， (1)写出年利润（万元）关于年产是（万箱）的函数解析式（利润销售收入成本）； (2)年产量为多少万箱时，该酒庄的利润最大？并求出最大利润． 20．为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸（记为矩形，如图）上设计四个等高的宣传栏（栏面分别为两个等腰三角形和两个全等的直角三角形且），宣传栏（图中阴影部分）的面积之和为.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为10cm（宣传栏中相邻两个三角形板块间在水平方向上的留空宽度也都是10cm），设. (1)当时，求海报纸（矩形）的周长； (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少（即矩形的面积最小）？ 21．已知.若函数的最小值为4． （1）求的值； （2）求的最小值． 22．（1）已知实数x，y满足，，求的取值范围; （2）已知实数，求的最小值. 参考答案： 1．C 【分析】假设，，都小于2，则，利用基本不等式得，与假设相矛盾，由此可得选项. 【详解】解：假设，，都小于2，则， 而当x，y，时，，当且仅当“”时，等号成立． ∴假设错误，∴，，中至少一个不小于2． 故选：C. 2．C 【分析】利用均值不等 ... ...