2023—2024学年人教版数学九年级上册21.2.1 第1课时 直接开平方法解一元二次方程 课件(共19张PPT)

(课件网) 21.2.1 第1课时 直接开平方法解一元二次方程 2023—2024学年人教版数学九年级上册 　　1．如果 x2＝a，那么 x 叫做 a 的平方根． 　　当 a 为正数时，a 有两个平方根，即 x 的值有两个，分别为_____； 　　当 a 为 0 时，a 的平方根为±0＝0，即 x 的值有两个，均为_____； 　　当 a 为负数时， a 没有平方根，即 x 的值不存在． 　　2．若一个数的平方等于 9，则这个数是_____；若一个数的平方等于 7，则这个数是_____． 0 ±3 　　问题 　一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 　　分析：设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2．根据一桶油漆可刷的面积，列出方程： 10×6x2＝1 500． 怎样利用学过的知识，解这个方程？ 　　问题 　一桶油漆可刷的面积为1 500 dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 　　解：设其中一个盒子的棱长为x dm，列出方程 10×6x2＝1 500． 　　整理，得x2＝25． 　　根据平方根的意义，得x＝±5， 　　即x1＝5，x2＝－5． 　　因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5 dm． 　　用方程解决实际问题时， 要考虑所得结果是否符合实际意义． 解下列方程，并归纳出这类方程的解的特点． （1）x2－1＝0； （2）x2＝0； （3）x2＋1＝0． 解：（1）x2＝1，x＝±1，所以 x1＝1，x2＝－1． （2）x1＝x2＝0． （3）x2＝－1，没有一个数的平方为负数，方程无解． 根据解题过程，你能得到什么结论？ 归纳 　　对于方程 x2＝p， 　　（1）当 p＞0时，根据平方根的意义，方程有两个不等的实数根 x1＝－ ，x2＝ ； 　　（2）当 p＝0时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝0； 　　（3）当 p＜0时，因为对任意实数 x，都有x2≥0，所以方程无实数根． 　　利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法． 　　直接开平方法是解一元二次方程的最基本的方法，其依据是平方根的意义． 探究 　　对照前面归纳的解方程 x2＝p的过程，你认为应怎样解方程(x＋3)2＝5？ 分析：根据归纳的结果，可以由方程 x2＝25得x＝±5． 由此想到：由方程(x＋3)2＝5得x＋3＝± ． 即x＋3＝ ，或x＋3＝－ ． 所以，方程(x＋3)2＝5的两个根为 x1＝－3＋ ，x2＝－3－ ． (x＋3)2＝5 x＋3＝ ，或x＋3＝－ 降次 　　上面的解法，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程． 归纳 　　解一元二次方程的基本思想是“降次”，通过“降次”把一元二次方程转化为一元一次方程． 　　直接开平方法的实质就是把一个一元二次方程通过“降次”，转化为两个一元一次方程． 例1 用直接开平方法解下列方程． （1）x2－81＝0； （2）4x2－64＝0． 　　解：（1）移项得 x2＝81，根据平方根的定义得 x＝±9， 即x1＝9，x2＝－9． 　　（2）移项得4x2＝64，于是 x2＝16，所以 x＝±4， 即x1＝4，x2＝－4． 归纳 　　用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解． 开方的结果要注意取正、负两种情况． 例2 用直接开平方法解下列方程． （1）(2y－3)2＝16； （2）9(x＋1)2＝25． 　　分析：先将方程化成(mx＋n)2＝p(p≥0，m≠0) 的形式，再根据平方根的定义求解． 解：（1）根据平方根的定义， 得2y－3＝±4， 所以y1＝ ，y2＝－ ． 例2 用直接开平方法解下列方程． （1）(2y－3)2＝16； （2）9(x＋1)2＝25． 解：（2）两边同除以9，得(x＋1)2＝ ， 根据平方根的定义，得x＋1＝± ， 所以x1＝ ，x2＝－ ... ...