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课件网) 回顾旧知，探究新知 问题1：请用文字叙述勾股定理？ 直角三角形的两条直角边的平方和等于 第三边的平方. 问题2：你能说出上述定理的逆命题吗？它是 真命题吗？ 逆命题：如果三角形两边的平方和等于第三边 的平方，那么这个三角形是直角三角形. 下面我们来共同探究： 1.据说，几千年前的古埃及人就已知知道，在 一根绳子上连续打上等距离的13个结，然后， 用钉子将第1个与第13个 结钉在一起，拉紧绳 子，再在第4个和第8 个结处各钉上一个钉 子，如图所示，这样 围成的三角形中，最 长边所对的角就是直角. 2.用圆规、直尺作△ABC，使AB＝5， AC＝4，BC＝3，如图所示，量一量 ∠C，它是90°吗？ B A C 想一想： 为什么用上面三条线段 围成的三角形，就一定 是直角三角形呢？你能 说明理由吗？ ∠C是90° B A C B′ A′ C′ 作∠C′＝90°，使C′B′＝CB＝3， C′A′＝CA＝4， 用“SSS”判定定理，易证：△ABC≌△A′B′C′ ∴∠C＝∠C′＝90° 故△ABC是直角三角形. 由勾股定理，得：A′B′＝AB＝5， 思考： 在△ABC中，AB＝5，AC＝4，BC＝3， 这三条线段之间有何数量关系呢？ 32+42＝52 数量关系： 即： BC2+AC2＝AB2 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等 于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形. 设在△ABC中，AB＝a，AC＝b，BC＝c， 如果这三边有下列关系： a2+b2＝c2 那么△ABC是直角三角形，且∠C＝90°. 例题讲解 例1 根据下列三角形的三边a，b，c的值，判断 △ABC是不是直角三角形，如果是，指出哪条 边所对的角是直角. (1)a＝7，b＝24，c＝25； 解：(1) ∵最大边是c＝25，c2＝625， a2+b2＝72+242＝625， ∴a2+b2＝c2， ∴ △ABC是直角三角形，最大边c所对角是直角. (2)a＝7，b＝8，c＝11； 解：(2) ∵最大边是c＝11，c2＝121， a2+b2＝72+82＝113， ∴a2+b2≠c2 ∴ △ABC不是直角三角形. 勾股数：能够成为直角三角形三条边长度的 三个正整数，称为勾股数. 像上面的7、24、25这三个数，我们称之为勾股数. 例2 已知：在△ABC中，三条边长分别为a＝ n2－1，b＝2n，c＝n2+1(n＞1)， 求证： △ABC为直角三角形. 证明：∵a2+b2＝(n2－1)2+(2n)2 ＝n4－2n2+1+4n2 ＝n4+2n2+1 ＝(n2+1)2＝c2， ∴ △ABC是直角三角形，(勾股定理的逆定理). 练一练 1.判断下列三边组成的三角形是不是直角三角形： (1)a＝2，b＝3，c＝4． ( ) (2)a＝9，b＝7，c＝12． ( ) (3)a＝25，b＝20，c＝15．( ) 22+32≠42 不是 72+92≠122 不是 152+202=252 是 2.三角形三边a，b，c满足条件: (a+b)2－c2＝2ab，此三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 B 3.一组勾股数的2倍一定是勾股数吗？ 为什么？ 答：是 解：设这组勾股数为a，b，c，其中c是最大边， 则：a2+b2＝c2， 这组数乘以2后，所得新的一组数分别为： 2a，2b，2c， ∵(2a)2+(2b)2＝4(a2+b2)＝4c2， (2c)2＝4c2 ∴(2a)2+(2b)2＝(2c)2， ∴一组勾股数的2倍一定是勾股数. 4.已知：如图，△ABC中，AB＝2 ，AC＝2， 高AD＝ . 求证：∠BAC＝90°. C A D B 证明：∵AD是△ABC的高， ∴在Rt△ADC中，CD2+AD2＝AC2， 在Rt△ADB中，BD2+AD2＝AB2， ∴BC＝CD+BD＝4， 又∵BC是最长边， ∴ ∠BAC＝90°. 又∵AC2+AB2＝4+12＝16， BC2＝42＝16， ∴AC2+AB2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形， 5.如图.在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2， DF＝1，图中有几个直角三角形？你是如何判断的？与同伴进行交流. 解：因为四边形ABCD是正方形，所以△BAE，△EDF， △FCB为直角三角形. A C B D E F 答：图中有四个直角三角形. 在Rt△BAE中， 在Rt△EDF中， 在Rt△FCB中， 在△BEF中， 所以△BEF也是直角 ... ...
