2024华东师大版数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练(四)切线的判定（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024华东师大版数学九年级下学期 专项素养综合全练(四) 切线的判定 类型一　有切点,连半径,证垂直 1.【等角转换】(2023辽宁铁岭中考)如图,AB是☉O的直径,点C,E在☉O上,∠CAB=2∠EAB,点F在线段AB的延长线上,且∠AFE=∠ABC. (1)求证:EF与☉O相切; (2)若BF=1,sin∠AFE=,求BC的长. 2.(2022湖南衡阳中考)如图,AB为☉O的直径,过圆上一点D作☉O的切线CD交BA的延长线于点C,过点O作OE∥AD交直线CD于点E,连结BE. (1)直线BE与☉O相切吗 并说明理由; (2)【一题多解】若CA=2,CD=4,求DE的长. 类型二　无切点,作垂直,证半径 3.(2022浙江台州椒江一模)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.求证:AC是☉O的切线. 4.(2023广西中考)如图,PO平分∠APD,PA与☉O相切于点A,延长AO交PD于点C,过点O作OB⊥PD,垂足为B. (1)求证:PB是☉O的切线; (2)若☉O的半径为4,OC=5,求PA的长. 答案全解全析 1.解析　(1)证明:如图,连结OE,∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA, ∴∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE, ∵∠CAB=2∠EAB,∴∠CAB=∠FOE,∵∠AFE=∠ABC,∴∠CAB+∠ABC= ∠FOE+∠AFE,∴∠ACB=∠OEF,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠OEF=90°,即OE⊥EF, ∵OE是☉O的半径,∴EF是☉O的切线. (2)设半径为r,即OE=OB=r,则OF=r+1,在Rt△EOF中,sin∠AFE===,∴r=4,∴AB=2r=8,在Rt△ABC中,sin∠ABC==sin∠AFE=,∴AC=×8=,∴BC==. 2.解析　(1)直线BE与☉O相切.理由如下:如图,连结OD,∵CD与☉O相切于点D,∴∠ODE=90°,∵AD∥OE,∴∠ADO=∠DOE,∠DAO=∠EOB,∵OD=OA,∴∠ADO=∠DAO,∴∠DOE=∠EOB,∵OD=OB,OE=OE,∴△DOE≌△BOE,∴∠OBE=∠ODE=90°,即OB⊥BE,∵OB是☉O的半径,∴直线BE与☉O相切. (2)(解法1:构建方程)设☉O的半径为r,在Rt△ODC中,OD2+DC2=OC2,∴r2+42=(r+2)2,∴r=3,∴AB=2r=6,∴BC=AC+AB=2+6=8,由(1)得△DOE≌△BOE,∴DE=BE,在Rt△BCE中,BC2+BE2=CE2,∴82+BE2=(4+DE)2,∴64+DE2=(4+DE)2,∴DE=6. (解法2:平行线分线段成比例定理)设☉O的半径为r,在Rt△ODC中,OD2+DC2=OC2,∴r2+42=(r+2)2,∴r=3,∴OA=3,∵AD∥OE,∴=, ∴=,∴DE=6. 3.证明　如图,过点O作OE⊥AC于点E,连结OD,OA,∵AB与☉O相切于点D,∴AB⊥OD,∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,∴AO是∠BAC的平分线,∴OE=OD,即OE是☉O的半径,∵AC经过☉O的半径OE的外端点且垂直于OE,∴AC是☉O的切线. 4.解析　(1)证明:∵PA与☉O相切于点A,且OA是☉O的半径,∴PA⊥OA,∵PO平分∠APD,OB⊥PD于点B,∴OB=OA,∴点B在☉O上,∵OB是☉O的半径,且PB⊥OB,∴PB是☉O的切线. (2)∵OA=OB=4,OC=5,∴AC=OA+OC=4+5=9,∵∠OBC=90°,∴BC===3,∵∠PAO=90°,∴tan∠ACP===,∴PA=12, ∴PA的长是12. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 21世纪教育网(www.21cnjy.com)