2024鲁教版五四制数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练(五)圆的综合探究题（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024鲁教版五四制数学九年级下学期 圆 专项素养综合全练(五) 圆的综合探究题 类型一　圆性质的综合探究题 1.(2023山东威海文登期末) 【初识模型】如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°.点D为BC边上一点,以AD为边作△ADE,使∠DAE=90°,AE=AD,连接CE,则CE与BD的数量关系是　　　　　　. 【构建模型】如图2,△ABC内接于☉O,BC为☉O的直径,AB=AC,点E为弧AC上一点,连接AE,BE,CE.若CE=3,BE=9,求AE的长. 【运用模型】如图3,等边△ABC内接于☉O,点E为弧AC上一点,连接AE,BE,CE.若CE=6,BE=10,求AE的长. 图1 图2 图3 2.【新考向·过程性学习试题】(2023吉林长春中考)【感知】如图①,点A、B、P均在☉O上,∠AOB=90°,则锐角∠APB的大小为　　　　度. 【探究】小明遇到这样一个问题:如图②,☉O是等边三角形ABC的外接圆,点P在上(点P不与点A、C重合),连接PA、PB、PC.求证:PB=PA+PC. 小明发现,延长PA至点E,使AE=PC,连接BE,通过证明△PBC≌△EBA可推得△PBE是等边三角形,进而得证.下面是小明的部分证明过程: 证明:延长PA至点E,使AE=PC,连接BE. ∵四边形ABCP是☉O的内接四边形, ∴∠BAP+∠BCP=180°, ∵∠BAP+∠BAE=180°, ∴∠BCP=∠BAE, ∵△ABC是等边三角形, ∴BA=BC, ∴△PBC≌△EBA(SAS). 请你补全余下的证明过程. 【应用】如图③,☉O是△ABC的外接圆,∠ABC=90°,AB=BC,点P在☉O上,且点P与点B在AC的两侧,连接PA、PB、PC,若PB=2PA,则的值为　　　　. 图① 图② 图③ 类型二　圆位置关系的综合探究题 3.(2023陕西中考A卷)(1)如图①,在△OAB中,OA=OB,∠AOB=120°,AB=24.若☉O的半径为4,点P在☉O上,点M在AB上,连接PM,求线段PM长度的最小值. (2)如图②,五边形ABCDE是某市工业新区的外环路,新区管委会在点B处,点E处是该市的一个交通枢纽,已知:∠A=∠ABC=∠AED=90°,AB=AE=10 000 m,BC=DE= 6 000 m,根据新区的自然环境及实际需求,现要在矩形AFDE区域内(含边界)修一个半径为30 m的圆形环道☉O,过圆心O,作OM⊥AB,垂足为M,与☉O交于点N,连接BN,点P在☉O上,连接EP,其中,线段BN、EP及MN是要修的三条道路,要在所修道路BN、EP长度之和最小的情况下,使所修道路MN最短,试求此时环道☉O的圆心O到AB的距离(即OM的长). 　 4.【截长补短法】(2023山东济宁中考)如图,已知AB是☉O的直径,CD=CB,BE切☉O于点B,过点C作CF⊥OE,交BE于点F,若EF=2BF. (1)如图1,连接BD,求证:△ADB≌△OBE; (2)如图2,N是AD上一点,在AB上取一点M,使∠MCN=60°,连接MN.请问:三条线段MN,BM,DN有怎样的数量关系 并证明你的结论. 图1 图2 答案全解全析 1.解析【初识模型】CE=BD. 详解:∵∠BAC=90°,∠DAE=90°, ∴∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE=90°, ∴∠BAD=∠CAE. 在△BAD和△CAE中, ∴△BAD≌△CAE(SAS),∴CE=BD. 故填CE=BD. 【构建模型】过点A作AF⊥AE,交BE于点F,如图. ∵BC为☉O的直径,∴∠BAC=90°. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=45°. ∵∠AEB=∠ACB,∴∠AEB=45°. ∵AF⊥AE,∴∠AFE=45°.∴AF=AE=EF. ∵∠BAC=∠FAE=90°, 即∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠CAE=90°, ∴∠BAF=∠CAE. 在△BAF和△CAE中,, ∴△BAF≌△CAE(SAS). ∴BF=CE=3.∴EF=BE-BF=9-3=6. ∴AE=3. 【运用模型】在BE上取一点F,使AF=AE,如图. ∵△ABC是等边三角形, ∴AB=AC,∠BAC=∠ACB=60°. ∵∠AEB=∠ACB,∴∠AEB=60°. ∴△AEF为等边三角形.∴∠FAE=60°,AE=EF. ∴∠BAF+∠FAC=∠FAC+∠CAE=60°. ∴∠BAF=∠CAE. 在△BAF和△CAE中,, ∴△BAF≌△CAE(SAS). ∴BF=CE=6.∴EF=BE-BF=10-6=4. ∴AE=EF=4. 2.解析【感知】45. 【探究】补充证明过程如下: ∴PB=EB,∠PBC=∠EBA, ∴∠EBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°, ∴△PBE是等边三角形, ∴PB=PE=PA+AE=PA+PC. 【应用】. 详解:如图,延长PA至点E,使AE=PC,连接BE. ∵四 ... ...