2024鲁教版五四制数学九年级下学期课时练--专项素养综合全练(二)圆切线中辅助线的添加（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024鲁教版五四制数学九年级下学期 圆 专项素养综合全练(二) 圆切线中辅助线的添加 方法一　遇切线———连半径,得垂直 1.【构造法】(2023山东威海乳山一模)如图,AB是☉O的直径,过☉O上的点C作☉O的切线,交AB的延长线于点D,连接AC,若∠D=40°,则∠CAD=(　　) A.20°　　　　B.25°　　　　C.30°　　　　D.40° 第1题图 第2题图 2.【面积法】(2023山东烟台一模)如图,GC,GB是☉O的切线,C是☉O上一点,AB是☉O的直径,GC与BA的延长线交于点E,过点C作弦CD∥AB,连接DO并延长与圆交于点F,连接CF,若AE=2,CE=4,则CD的长度为　　　　. 3.【方程思想】(2023四川广元中考)如图,AB为☉O的直径,C为☉O上一点,连接AC,BC,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点D,OF⊥BC于点E,交CD于点F. (1)求证:∠BCD=∠BOE; (2)若sin∠CAB=,AB=10,求BD的长. 方法二　证切线———连半径,证垂直 4.(2022广西贺州中考)如图,△ABC内接于☉O,AB是直径,延长AB到点E,使得BE=BC=6,连接EC,且∠ECB=∠CAB,点D是上的点,连接AD,CD,且CD交AB于点F. (1)求证:EC是☉O的切线; (2)若CB平分∠ECD,求AD的长. 5.【构造法】(2023湖北随州中考)如图,AB是☉O的直径,点E,C在☉O上,点C是的中点,AE垂直于过C点的直线DC,垂足为D,AB的延长线交直线DC于点F. (1)求证:DC是☉O的切线; (2)若AE=2,sin∠AFD=. ①求☉O的半径; ②求线段DE的长. 6.【转化思想】(2023四川遂宁中考节选)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB为☉O的直径,AD=CD,过点D的直线交BA的延长线于点M,交BC的延长线于点N,且∠ADM=∠DAC. (1)求证:MN是☉O的切线; (2)求证:AD2=AB·CN. 方法三　证切线———作垂直,证半径 7.【转化思想】(2022广西贵港中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D是AB边的中点,点O在AC边上,☉O经过点C且与AB边相切于点E,∠FAC=∠BDC. (1)求证:AF是☉O的切线; (2)若BC=6,sin B=,求☉O的半径及OD的长. 答案全解全析 1.B　如图,连接OC. ∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°. ∵∠D=40°,∴∠COD=50°. ∴∠CAD=∠COD=25°,故选B. 2.答案 解析如图,设CF交AB于点H,连接OC. ∵GC是☉O的切线,∴OC⊥GE.∴∠OCE=90°. 设☉O的半径为r,则OC=r,OE=r+2. 在Rt△OCE中,由勾股定理得,OC2+CE2=OE2, 即r2+42=(r+2)2,解得r=3. ∵DF为☉O的直径,∴∠DCF=90°. ∵CD∥AB,∴∠CHE=∠DCF=90°. ∴CF⊥AB.∴CH=FH. ∵CH·OE=OC·CE,∴CH==. ∴CF=2CH=. 在Rt△DCF中,由勾股定理得, CD===. 3.解析(1)证明:如图,连接OC. ∵CD是☉O的切线,∴∠OCD=90°. ∴∠OCB+∠BCD=90°. ∵OF⊥BC,∴∠BEO=90°.∴∠BOE+∠OBE=90°. ∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC.∴∠BCD=∠BOE. (2)如图,过B作BH⊥CD于H. ∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°. ∵sin∠CAB==,AB=10,∴BC=6. ∵∠ACB=∠BEO=90°,∴AC∥OF.∴∠BOE=∠CAB. ∵∠BCD=∠BOE,∴∠CAB=∠BCD. ∴sin∠CAB=sin∠BCD==,∴BH=. ∵sin D==,∴=,解得BD=. 故BD的长为. 4.解析(1)证明:如图,连接OC. ∵OA=OC,∴∠CAB=∠ACO. ∵∠ECB=∠CAB,∴∠ECB=∠ACO. ∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°. ∴∠ACO+∠OCB=90°. ∴∠ECB+∠OCB=90°,即OC⊥EC, 又∵OC是☉O的半径,∴EC是☉O的切线. (2)∵CB平分∠ECD,∴∠BCD=∠ECB. ∵∠BCD=∠BAD,∴∠ECB=∠BAD. ∵∠ECB=∠CAB,∴∠BAD=∠CAB.∴=. ∵AB是☉O的直径,∴AB⊥CD. 在Rt△FCE中,∠FCE+∠E=90°.∵BE=BC, ∴∠E=∠ECB.∴∠E=∠ECB=∠BCF=30°, 在Rt△BCF中,BC=6,∠BCF=30°, ∴CF=BC·cos∠BCF=6×=3. ∵AB⊥CD,AB是☉O的直径,∴DF=CF=3. 在Rt△ADF中,∠DAF=∠BCF=30°, ∴AD===6. 5.解析(1)证明:如图,连接OC. ∵点C是的中点,∴=.∴∠DAC=∠BAC. ∵OA=OC,∴∠BAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD. ∵AD⊥DC,∴OC⊥DC,又∵OC是☉O的半径, ∴DC是☉O的切线. ( ... ...