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课件网) 2.5 一元二次方程的根与系数的关系 第二章 一元二次方程 学习目标 2.利用一元二次方程的根与系数的关系解决简单问题. 1.了解一元二次方程的根与系数的关系. 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时，方程无实数根. 问题：如何用判别式 b2 - 4ac 来判断一元二次方程根的情况？ 温故知新 探究一元二次方程的根与系数的关系 方程 x1 x2 x1 + x2 x1 · x2 x2 -2x + 1 = 0 x2-2x-1=0 2x2 -3x + 1 = 0 1 1 2 1 -1 1 （1）两根之和与两根之积与系数有何关系？ 探究新知 【例1】完成下表. x1+x2=-，x1 x2= . （2）如何证明以上发现的规律呢？ 两根之和为：x1 + x2= + = =- 证明：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当Δ=b2-4ac≥ 0 时， 有两个根： ， . 两根之积为：x1 x2= = = 所以，如果方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0)有两个实数根x1 , x2 ，那么x1+x2=-，x1 x2= . 解：这里 a=1，b=7，c =6. Δ=b2-4ac =72–4×1×6=25>0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2， 所以，x1+x2=-7 , x1 x2=6. 【例2】利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; 1.判断方程根的情况. 2.根据一元二次方程的根与系数的关系得出两根之积、两根之和. 解：这里 a = 2，b = -3，c = -2. Δ=b2-4ac=(- 3)2 –4×2× (-2)=25>0， ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2， 所以，x1 + x2 = ，x1 x2 = -1 . （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解:根据根与系数的关系得： x1+x2= - = - ， x1 x2= =-. （1）(x1 + 2)(x2 + 2) = x1 x2 +2(x1 + x2)+4 =-+2×(-)+4=； （2） + = =-=3. 【例3】设x1，x2是方程2x2 +3x–1=0的两个根.利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. （1）(x1 + 2)(x2 + 2); （2） + 【例4】设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，且x12 +x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0，∴k≤. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0，k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 1.不解方程，求方程两根的和与两根的积： （1）x2 + 3x -1= 0; （2）2x2 - 4x + 1 = 0. 解：这里 a = 2 , b = -4 , c = 1. Δ=b2-4ac=( -4 )2-4×1×2= 8>0， ∴有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1，x2， 所以x1 + x2 = 2 , x1 x2 =. 随堂检测 解：这里 a=1，b=3，c=-1. Δ=b2-4ac=32-4×1×(-1)=13>0， ∴有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2， 所以x1 + x2 = -3 , x1 x2 = -1； 2.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得m =16, 设另一个根为x1，则：1 × x1 ==， ∴x1 =. 3.设x1，x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根与系数之间的关系，求下列各式的值. （1）(x1 + 1)(x2 + 1); （2） + 解：根据根与系数的关系得： x1+x2= - = -， x1 x2= =-1. （1）(x1 + 1)(x2 + 1)=x1 x2+x1+x2+1= -+(-1)+1= -； （2） += ==-. 一元二次方程的 根与系数的关系 关系 应用 1.利用根与系数的关系求代数式的值. 2.已知方程一根，利用根与系数的关系求方 程的另一根或字母系数的值. 3.判别式及根与系数的关系的综合应用. 课堂小结 如果方程ax2 + bx + c = 0（a≠0） 有两个实数根x1，x2， 那么x1+x2= - ， x1 x2= . 再见 ... ...
