人教版数学九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径 教学目标： 1.知识与技能： （1）通过观察以及动手操作,理解圆的轴对称性。 （2）掌握垂径定理的内容及几何语言。 （3）会用垂径定理解决有关的证明与计算问题。 2.过程与方法： （1）通过探索圆的对称性及相关性质,培养学生动手操作能力及观察、分析、逻辑推理和归纳概括能力。 （2）经历探究垂径定理的过程,体会和理解研究几何图形的多种方法。 3.情感态度与价值观： （1）通过探究垂径定理的活动, 并引入实际问题，使学生知道数学在实际生活中的用处，激发学生探究、发现数学问题的兴趣。 （2）培养学生观察能力,激发学生的好奇心和求知欲,并从数学学习活动中获得成功的体验。 教学重难点： 【重点】垂径定理及其应用 【难点】探索并证明垂径定理,利用垂径定理解决一些实际问题。 教学准备： 多媒体课件、自制圆形纸片、导学案、作图工具 一、情境引入 我校总务处的李师傅遇到一件麻烦事，因我校一处圆形下水道破裂，他准备更换新管道，但只知道污水面宽60cm，水面至管道顶部10cm ，你能帮李师傅计算一下他应准备内径多大的管道吗？ 二、实践探究 1.活动1: 我们在学轴对称的时候已经学过 圆是 轴对称 图形， 任何一条直径所在的直线 都是圆的对称轴。 将你手中的圆形纸片沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，验证圆的这一特性。课本中有证明圆是轴对称图形的方法，课前已经让大家预习过了，现在大家再来看一下，进行巩固。 2.活动2: 在圆形纸片上操作： ①找出圆心，记作O ②作出一条直径，与⊙O交于C、D ③在⊙O上的任意找一点A，过点A作一条弦AB使AB⊥CD, 交⊙O于点B，垂足为E。沿着直径CD对折，你发现了什么？有哪些相等的线段和弧？ 观察发现： 点A与 重合，AE与 重合, 弧AC与 重合，弧AD与 重合。 相等的线段: ， 相等的弧: . 思考： 如果AB是⊙O的一条直径呢？以上结论还会成立吗？ 【证明定理】 动手操作之后，我们现在来进行理论证明。 学生用自己的方法证明，之后同学之间分享方法。 ①证明“AE=BE” ②证明“弧相等” 【归纳定理】 根据上面的证明，提炼出“两个条件”“三个结论”并得出 “垂径定理”。 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 数学符号语言： ( ⌒ ) ( ⌒ ) ( ⌒ ) ( ⌒ )∵ CD是直径 , CD⊥AB , ∴ AE=BE , AC =BC , AD =BD 。 【巩固定理】 在下列图形中，它们是否适用于“垂径定理”？若不适用，说明理由；若适用，能得到什么结论。 ( O E D C A B ) 分析之后强调：(1)定理中的两个条件缺一不可； (2)定理的基本图形。 补充：把直径延伸为半径、过圆心的直线，同样适用于垂径定理.但是如果垂直、直径缺少一个都无法适用。 三、典例精析 例1 (2023河北省中考题)装有水的水槽放置在水平台面上，其横截面是以AB为直径的半圆O，AB=50cm，如图所示MN为水面截线，GH为台面截线，MN∥GH。 计算：图中，已知MN=48cm，作OC⊥MN于点C。求OC的长。 解：连接OM ∵O为圆心，OC⊥MN于点C,MN=48cm ∴MC=MN=24cm ∵AB=50cm ∴OM=AB=25cm ∴在RTOMC中 例2 思考 若圆的半径为R，一条弦长为a，圆心到弦的距离为d（弦心距），则R、a、d三者之间的关系式是 。 四、当堂评测 1.如图1，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）。 A．4 B．6 C．7 D．8 2.如图2，⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为 ，最大值为_____。 3.如图3，已知⊙O的半径为13mm，弦AB=10mm，则圆心O到AB的距离是（ ）。 A．3 mm B．4 mm C．12 mm D．5 mm 4.如图4，AB为圆O的弦，圆O的半径为5，OC⊥AB于点D，交圆O于点C，且CD=2，则AB的长是____。 ( 图 2 ) ( 图1 ) ( 图 4 ) ( 图3 ) 5.已知：⊙O中弦AB∥CD。 求证 ... ...
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