【同步训练】浙教版2023-2024学年数学九年级下册第1章解直角三角形1.3解直角三角形（1）（知识重点+经典例题+基础训练+培优训练+直击中考）（原卷+解析卷）

中小学教育资源及组卷应用平台 浙教版2023-2024学年数学九年级下册第1章解直角三角形（解析版） 1.3解直角三角形（1） 【知识重点】 概念：在直角三角形中，由已知的一些边、角，求出另一些边、角的过程，叫做解直角三角形。 锐角三角函数的应用的技巧与方法： 1）解直角三角形的方法：“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切），宁乘毋除，取原避中），”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。 2）对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直角三角形来解，作辅助线的一般思路是： （1）作垂线构成直角三角形；（2）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。 【经典例题】 【例1】如图是的高，，，，则的长为（　　）. A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵AD是△ABC的高，∠BAD=60°， ∴， ∴， ∴. ∵，即， ∴， 解得：， ∴. 故答案为：C. 【例2】如图，由游客中心A处修建通往百米观景长廊BC的两条栈道AB，AC．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A到观景长廊BC的距离AD的长约为　 　米．（结果保留整数，sin56°≈0.8，tan56°≈1.5） 【答案】60 【解析】∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米， ∴BD= ，CD= ， ∴ + =100， 解得AD≈60． 故答案为：60． 【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB=60°，弦AD平分∠CAB，若AD=6，则AC=　 　． 【答案】 【解析】解: 连接BD． ∵AB是直径， ∴∠C=∠D=90°， ∵∠CAB=60°，AD平分∠CAB， ∴∠DAB=30°， ∴AB=AD÷cos30°=4 ， ∴AC=AB cos60°=2 ， 故答案为：2 ． 【例4】如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB= 。求BC的长及∠A的正切值． 【答案】解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AB=10，sinB= ， ∴AC=AB．sinB=6， ∴BC= =8， ∴tanA= 【例5】动感单车是一种新型的运动器械.图1是一辆动感单车的实物图，图2是其侧面示意图.△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上.已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°.当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）.（参考数据：sin58°=0.85，cos58°=0.53，tan58°=1.60） 【答案】解：在Rt△ACE中，∠AEC=90°，∠ACE=58°，AC=AB+BC=34+70=104(cm)， ∵sin∠ACE=，即sin58°=， ∴AE=104×0.85=88.4≈88(cm)， ∴点A到CD的距离AE的长度约为88cm. 【例6】在综合实践课上王老师带领大家利用所学的知识了解某广告牌的高度，已知CD=3m，经测量，得到其它数据如图所示，其中∠CAH=30°，∠DBH=60°，AB=10m.请你根据以上数据计算广告牌的高度GH. 【答案】解：延长CD交AH于点E， 设DE=x，则BE= x， ∵∠A=30°， ∴ = = ， ∴x=5 -4.5， ∴GH=EC=5 -1.5（m） 答：GH的长为（5 -1.5）m. 【例7】如图1是某配电房的实物图，图2是它的部分示意图.已知，，，，参考数据：，，. （1）根据以上信息可以求出的量有　 　（填序号） ①点A到的距离②的长③矩形的面积④点B到的距离 （2）选择（1）中的一个可求的量，写出求解过程.（结果精确到0.1m） 【答案】（1）①②④ （2）解：①如图，过点A作， ， 是等腰三角形， ， 在中， ，， ∴点A到的距离为 ②解：在中，，， ， 又∵， ， ④解：如图，过点B作， ，， 在中，， ， ∴点B到的距离为4.6米. 【解析】（1）如图，过点A作， ， 是等腰三角形， ， ， 在中， ，， ， ， ， ∴点A到的距离为， 故①可求； 在中，，， ， ， 又∵， ， 故②可求； ，， ，， ， ∴四边形是矩形， ∵矩形的面积为：， 由已知条 ... ...