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课件网) 1.3 正方形的性质与判定 第1课时 第一章 特殊平行四边形 1.理解正方形的定义,了解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别. 2.掌握正方形的性质定理，并会进行有关的计算与证明． 任务一：了解正方形与平行四边形、矩形、菱形之间的联系和区别 活动：观察下面特殊的平行四边形，指出它们的共同特征. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 2 2 3 3 4 4 尝试用菱形、矩形定义正方形. 思考 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱形 一个角是直角 ∟ 正方形 有一个角是直角的菱形叫做正方形. 邻边相等的矩形叫做正方形. 总结归纳 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形即矩形,又是菱形.所以它具有矩形、菱形的所有性质. 任务二：会运用正方形的性质进行有关的计算与证明 活动1：填一填. A B C D 角： 边： 对角线： 对称轴： 四个角都是直角. 四条边相等. 对角线相等且互相垂直平分. a a a a 有4条对称轴. 定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等. 定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分. 试证明两个定理 解：∵△ABE是等边三角形，∴AB=AE=BE,∠ABE=∠BEA=∠EAB =60°. 又∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AE=BC=BE,∠DAB=∠ABC=90°， ∴∠DAE=∠CBE=150°， ∴∠AED=∠EDA=∠CEB=∠BCE= (180°-150°)=15°， ∴∠DEC=∠AEB-∠AED-∠CEB=60°-15°-15°=30°. 活动2：利用正方形的性质进行计算与证明. 1.如图，已知正方形ABCD,以AB为边向正方形外作等边△ABE,连结DE、 CE,求∠DEC的度数. D A E B C 2.如图，已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O , MN∥AB ,且分别于OA , OB相交于点M,N. 求证：（1）BM = CN;（2）BM⊥CN. A B C D O M N 1 2 3 证明：（1）∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC，AC、BD互相垂直平分，且AC=BD， ∴OA=OB=OC. ∴∠2=∠NBC=45°. 又∵MN∥AB，∴∠1=∠2=∠ABD=∠3=45°，∴OM=ON. ∵OA=OB,∴AM=OA-OM=BN=OB-ON，∴△ABM≌△BCN(SAS)，∴BM=CN. A B C D O M N 证明：（2）延长CN交线段MB于点Q. ∵△ABM≌△BCN，∴∠5=∠7. ∵正方形ABCD中∠OCB=∠ABO=45°，∴∠4=∠6. 又∵∠ONC=∠QNB. ∴180°-∠4 -∠ONC = 180°-∠6 -∠QNB, ∴∠CON =∠NQB = 90°，∴BM⊥CN. Q 4 6 5 7 2.如图，已知四边形ABCD是正方形,对角线AC与BD相交于点O , MN∥AB ,且分别于OA , OB相交于点M , N. 求证：（1）BM = CN;（2）BM⊥CN. 2 3 1 1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（ ） A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等 A 2.一个正方形的对角线长为2cm，则它的面积是 . 2cm 3.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，（1）求证：BE=CF；（2）求BE的长． （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，∴AB=BC， ∴∠B=90°，∠ACB=45°，AB=BC=1cm. ∵AE平分∠BAC，EB⊥AB，EF⊥AC, ∴△ABE≌△AFE(AAS),∴BE=EF,∠EFA=∠EFC=90°. 又∵∠ACB=45°， ∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF=FC. ∴BE=FC. 3.如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，AE平分∠BAC，EF⊥AC，（2）求BE的长． （2）解：由（1）得△ABE≌△AFE， ∴AB=AF=1cm， 在Rt△ABC中， ∴BE=CF=AC-AF= 针对本节课关键词“正方形的性质”，说说你都学到了哪些知识？ ... ...
