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课件网) 16.3 角的平分线 第十六章 轴对称和中心对称 导入新课 复习引入 1.角平分线的概念 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. O B C A 1 2 2.下图中能表示点P到直线l的距离的是 . 线段PC的长 P l A B C D 3.下列两图中线段AP能表示直线l1上一点P到直线l2的距离的是 . A A P P l1 l2 l1 l2 图1 图2 图1 讲授新课 角平分线的性质定理 一 如图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P,过点P画出OA,OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD，PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试. P A O B C D E PD=PE 作图探究 验证结论 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌ △PEO(AAS). ∴PD=PE. 性质定理： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE （在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）. 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. 知识要点 PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 判一判：（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）， ∴ = ，( ) 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C (2)∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）. ∴ = , ( ) 在角内任意一条线上的点到这个角的两边的距离相等 BD CD × B A D C 典例精析 例1 已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线且BD=CD∠B=∠C,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B C D E F 分析：先利用角平分线的性质定理得到DE=DF，再利用全等证明Rt△BDE ≌ Rt△CDF. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF. ∴ EB=FC. BD=CD， ∠B=∠C， ∠DEB=∠DFC， 角平分线性质定理的逆定理 二 角平分线性质定理的逆定理 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 典例精析 例2 如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？ D C S 解：作夹角的角平分线OC， 截取OD=2.5cm ,D即为所求. O 典例精析 例3 已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. A B C P N M D E F A B C P N M 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 这说明三角形的三条角平分线相交于一点，这一点到三角形三边的距离相等. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. 用尺规作已知角的角平分线 三 如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线.你能说明它的道理吗 A B C (E) D 其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等. A B M N C O 已知:∠AO ... ...
