期中考试试题（理科数学）参考答案 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A D B B D A A D B B B C 二、填空题 13. 38 14． 15． 16． 三、解答题 17．（1）设的公差为，的公比为， 由题得，解得，则. （2）， 喜欢足球 不喜欢足球 合计 男生 60 40 100 女生 30 70 100 合计 90 110 200 . 18．（1）解：根据题意，得到列联表如下： 可得， 所以有的把握认为该校学生喜欢足球与性别有关. （2）解：由题意，人进球总次数的所有可能取值为， 可得，， 0 1 2 3 ， 所以随机变量的分布列为： 所以的数学期望为. 19．（1）因为平面平面，且平面平面，平面，， 所以平面， 又平面，所以． 因为，，，所以，故． 又，平面，所以平面． 因为平面，所以，平面平面． （2）作的高，因为，，， 所以，所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面． 所以，可以建立如图所示空间直角坐标系，其中轴． 则，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 则即 令得，， 所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 则即 令得，， 所以平面的一个法向量为．， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为． 20．（1）因为，所以， 又因为函数在处有极小值， 所以，解得或， 当时，，则时，，时，， 在上单调递减，在上单调递增，可得函数在处取得极小值； 当时，，则时，，时，， 在上单调递增，在上单调递减， 可得函数在处取得极大值，不合题意，舍去．所以c的值为3. （2）， 函数定义域为R，， 当时，恒成立，在R上单调递增， 时，有一个零点-1； 时，，，恰有一个零点. 当时，解得或，解得， 在和上单调递增，在上单调递减， 时，有极大值，时，有极小值， 恰有一个零点，或 解得，综上可知，函数恰有一个零点，实数a的取值范围为. 21．（1）设动点,依题意有整理,得. 动点的轨迹方程为, 当时,轨迹是焦点在轴上的双曲线, 当时,轨迹是焦点在轴上的椭圆, 当时,轨迹是圆, 当时,轨迹是焦点在轴上的椭圆,且点不在曲线上; （2）设直线的方程为,, 由,解得， 由韦达定理有:,且, 构成等比数列, 即:, 由韦达定理代入化简得:,, 此时,即. 故. 又为定值. ，当且仅当时等号成立. 综上:. 22．（1）曲线C1是以C1（4，0）为圆心的半圆， 所以半圆的极坐标方程为， 曲线C2是以为圆心的圆，转换为极坐标方程为． （2）由（1）得：|MN|＝|． 显然当点P到直线MN的距离最大时，△PMN的面积最大． 此时点P为过C2且与直线MN垂直的直线与C2的一个交点， 设PC2与直线MN垂直于点H， 如图所示： 在Rt△OHC2中，|， 所以点P到直线MN的最大距离d， 所以． 23．（1）， 故等价于或或， 解得， 不等式的解集为； （2）当时，； 当时，； 当时，， 故函数的的最小值为，即 利用柯西不等式可得， 即，当且仅当时等号成立， 结合，即当时，取得最小值4. 答案第14页，共14页金苹果锦城第一中学2023-2024学年高三上学期期中考试（理科数学） 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效. 第I卷（选择题) 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，，，则等于（ ） A． B． C． D． 2．命题“”的否定是（ ） A． B． C． D． 3．已知（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“”的概率为（ ） A． B． C． D． 5．已知中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c， ... ...
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