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课件网) 13.5.3 角平分线 第13章 逆命题与逆定理 华东师大版第13章 全等三角形 在一个三角形居住区内修有一个学校P，P到AB、BC、CA三边的距离都相等，请在三角形居住区内标出学校P的位置，P在何处？ A B C 这要用到 角平分线的知识。 怎么用呢？ 生活中的数学 创设情境 角平分线的性质: 如图，点P是∠AOB的角平分线OC上的任意一点，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，将∠AOB沿OC对折，你发现了什么？如何表达，并简述你的证明过程。 对折后PD、PE能够完全重合，PD=PE. 即角平分线上的点到角两边的距离相。 角是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ D P A C B E O 你能给出PA=PB的证明吗？ 获取新知 角平分线上的点到角两边的距离相等 书写格式：如图，∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E, ∴PD＝PE。 易错警示：垂线段的长度≠随意两点间的距离 D P A C B E O 关键词：(1)点一定要在角平分线上； (2)点到角两边的距离是指点到角两边垂线段的长度； 作用：角平分线的性质可用来证明两条线段相等。 是三角形全等思路的简化升级版 角平分线的性质定理： 角平分线性质定理的逆定理 写出性质定理及其逆命题的条件和结论，你有什么发现？ 条 件 结 论 性质定理 逆命题 一个点在角的平分线上 这个点到这个角两边的距离相等 一个点到角两边的距离相等 这个点在这个角的平分线上 这个逆命题是否是一个真命题？你能证明吗？ 角平分线的性质定理，条件和结论反过来会有什么结果呢？ 逆命题 如果一个点到角两边的距离相等，那么这个点在这个角的平分线上。 分析：只需证明∠AOP和∠BOP所在的Rt△PDO和Rt△PEO全等。 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE 求证：点P在∠AOB的角平分线上 B A D O P E 证明：过点O、P作射线OP ∵ PD⊥OA PE⊥OB ∴ ∠PDO=∠PEO=90° 在 Rt△PDO和 Rt△PEO中： ∵ OP=OP PD=PE ∴ Rt △PDO≌ Rt△PEO, (H L) ∴ ∠DOP=∠EOP(全等三角形的对应角相等) ∴点Q在∠AOB的平分线上 B A D O P E 条件：点到角两边距离相等 结论：点在角平分线上 (1)书写格式：如图： ∵PD⊥OA PE⊥OB PD＝PE ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC) (2)作用：可以证明两个角相等或一条射线是角的平分线 角平分线的判定定理： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上 画出△ABC三个内角的平分线，你有什么发现？ 点拨：只需要证明第三条角平分线经过另外两条角平分线的交点即可。思路可表示如下： AP是∠BAC的平分线 BP是∠ABC的平分线 PD=PF PD=PE PF=PE 点P在∠BCA的平分线上 A B C P D F 你会给出证明过程吗？试试吧 你能给出三角形三个内角平分线交于一点的证明吗？ E 例1 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB， DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF 证明：∵ AD平分∠CAB DE⊥AB于E ∠C＝90° ∴ DE＝DC 在Rt△BDE和Rt△FDC中： ED＝CD BE＝FC ∴ Rt△BDE≌Rt△FDC（HL） ∴ BD＝DF 例题讲解 在证明两条线段相等时，若两条线段分别在两个三角形中，可考虑使用三角形全等或角平分线的性质，若条件中有垂直和角平分线，则优先考虑使用角平分线的性质。 运用角平分线的性质证明线段相等时，不需要利用三角形全等。 例2 如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D。 求证：AD平分∠BAC 分析：要证AD平分∠BAC，已知条件中有两个垂直，即有点到角的两边的距离，再证这两个距离相等即可证明结论，证这两条垂线段相等，可通过证明△BDE和△CDF全等来完成。 例题讲解 证明：∵ DF⊥AC DE⊥AB ∴ ∠DEB＝∠DFC＝90° 在△BDE和△CDF中： ∠BDE＝∠CDF ∠DEB＝∠DFC BE＝CF ∴ △BDE≌△CDF（AAS） ∴ DE＝DF ∵ DF⊥AC于点F DE⊥ ... ...
