14.1.1 直角三角形三边的关系

第14章 勾股定理 14.1.1 直角三角形三边的关系 ———数形结合之美 1 创设情境 受台风威马逊的影响，一棵树在离地面4米处断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断前有多高？ 4米 3米 （图中每一格代表一平方厘米） 观察左图： （1）正方形P的面积是 平方厘米。 （2）正方形Q的面积是 平方厘米。 （3）正方形R的面积是 平方厘米。 1 2 1 上面三个正方形的面积之间有什么关系？ SP+SQ=SR R Q P A C B AC2+BC2=AB2 等腰直角三角形ABC三边长度之间存在什么关系吗？ Sp=AC2 SQ=BC2 SR=AB2 2 知识探究 这说明在等腰直角三角形ABC中,两直角边的平方和等于斜边的平方 那么,在一般的直角三角形中,两直角边的平方和是否等于斜边的平方呢? 想一想 探究活动 P的面积(单位长度) Q的面积(单位长度) R的面积(单位长度) 图2 图3 P、Q、R面积关系 直角三角形三边关系 Q P R 图2 Q P R 图3 A B C A B C 9 16 25 9 4 13 SP+SQ=SR BC2+AC2=AB2 (每一小方格表示1平方厘米) Q P R 图1-3 Q P R 图1-4 把R看作是四个直角三角形的面积+小正方形面积。 Q P R 图3 Q P R 图4 把R看作是大正方形面积减去四个直角三角形的面积。 S正方形R 分别以5cm、12cm为直角三角形的直角边作出一个直角三角形ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立。 做一做 13 5 12 A B C 对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c(最长边)，那么一定有：a2+b2=c2 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 A B C b c 几何语言： 在Rt△ABC中 （已知） 由勾股定理得： ∴a2+b2=c2（勾股定理） 勾股定理: ∟ 注意： 1.运用前提：已知直角三角形和直角。 2.揭示了直角三角形三条边的关系； 3.运用中要注意直角与斜边的对应关系； 4.三边中最长的边就是斜边。 a 关于勾股定理 在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。图1-1称为“弦图”，最早是由三国时期的数学家赵爽在为《周髀算经》作法时给出的。　　　　　　 弦c 股b 勾a 图1-1 勾 股 勾 股 世 界 在西方，因为是毕达哥拉斯最先发现这个定理的，所以西方人通常称勾股定理为“毕达哥拉斯定理” 。传说毕达哥拉斯证明这个定理之后，杀了一百头牛来庆祝，所以它又叫“百牛定理” 。在欧洲中世纪它又被戏称为“驴桥定理” ，因为那时数学水平较低，很多人学习勾股定理时被卡住，难以理解和接受。所以勾股定理被戏称为“驴桥”，意谓笨蛋的难关 。 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就曾提出， “勾三、股四、弦五”，所以勾股定理又叫“商高定理” a b c c2=a2 + b2 a2=c2 － b2 b2 =c2 －a2 结论变形 直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方: 如果知道了直角三角形两边的长度,那么应用勾股定理可以求出第三边的长度 勾股定理的证明(一) 美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话 。人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法。 证明： 教材P141 b a c 勾股定理的证明(二) a b c a b c a b c 最早是由1700多年前三国时期的数学家赵爽为《周髀算经》作注时给出的，他用面积法证明了勾股定理。 你能用面积法证明勾股定理吗？ 弦 图 证明： a b c 你能用两种方法表示这个小正方形（空白部分）的面积吗？ 勾股定理的证明(三) 证明： 将上面弦图中的四个三角形 重新拼成右图形式。 3 例题讲解 例1：在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°。 (1) 已知：a=3，ｂ=4，求c；　 (2) 已知：a=24，c=25，求b； (3) 已知：c=13，b=5，求a； a b c C B 解：(1)在Rt△ABC中： 设c的长为x，由 ... ...