(
课件网) 第十五章 轴对称图形与等腰三角形 15.2 线段的垂直平分线 市政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处才能使得它到三个小区的距离相等 1.能够通过尺规作图作一条已知线段的垂直平分线， 并能证明它的正确性； 2.理解线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理； 任务一：通过尺规作图作一条已知线段的垂直平分线. 活动1：小组合作，完成下列问题. 做一做： ① 在半透明纸上画一条线段AB； ② 折纸使A与B重合，得到的折痕 l 就是线段AB的垂直平分线. A B A B l O C A(B) l O 想一想： 这样折纸怎么就是垂直平分线呢？ 活动2：阅读课本P128尺规作图步骤，完成下列问题. 问题1：画弧的半径为什么要大于 的长？ 问题2：为什么这样作出的直线EF，就是线段AB的垂直平分线呢？ 问题3：尝试动手画图，作出线段的垂直平分线. A B C D 问题1：用大于 的长为半径画弧 目的是使两弧有交点. 问题3： 方法总结：我们也可以用这种方法确定线段的中点. 任务二：探索线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 活动：用刻度尺和三角板画出线段AB的垂直平分线l，在直线l上任取一些点P1，P2，P3，…分别量一量点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离，你有什么发现？ 猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 证明猜想： 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在l 上． 求证：PA =PB． 证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， ∴ △PCA ≌△PCB（SAS）． ∴ PA =PB． P A B l C 线段垂直平分线的性质： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 应用格式：∵AC=BC，PC⊥AB， P是l上任意一点，∴PA=PB． P A B l C 活动小结 定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 逆 命 题 逆命题：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 思考：写出下面定理的逆命题，它是真命题吗？如果是真命题，请给出证明. 证明：过点P 作AB 的垂线PC，垂足为点C． 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，PA =PB，PC =PC， ∴ Rt△PCA≌Rt△PCB（HL）．∴ AC =BC． 又 PC⊥AB，∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上． P A B C 已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． 验证命题： 线段垂直平分线的判定： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 应用格式： ∵PA =PB，∴点P 在AB 的垂直平分线上． 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. P A B 活动小结 已知:如图,在ΔABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P. 求证：PA=PB=PC. 证明：连接PA，PB，PC. ∵点P在AB，AC的垂直平分线上， ∴PA=PB，PA=PC， ∴ PB = PC（等式性质） ∴ 点P在BC的垂直平分线上. B C A P 现在你能回答讲课前提出的问题吗？ 你知道购物中心应该建在何处了吗？ 三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 活动小结 1.如图，AC=AD，BC=BD，则有（ ） A. AB与CD互相垂直平分 B. CD垂直平分AB C. AB垂直平分CD D. CD平分∠ACB C 2. 如图，△ABC中，AB = AC，AB的垂直平分线交AC于E，连接BE， AB + BC = 16cm，则△BCE的周长是 cm. 16 A B C D E A B C D E 3.已知：如图，AB=AC，DB=DC，E是AD上一点．求证：BE=CE 证明：连接BC，∵AB＝AC，DB＝DC， ∴点A、D在线段BC的垂直平分线上（和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上） ∴AD是线段BC的垂直平分线， ∵点E在AD上， ∴BE=CE（线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等）． 说说本节课 ... ...
