【精品解析】2023-2024学年初中数学九年级上册 4.1 正弦和余弦 同步分层训练培优卷(湘教版)

2023-2024学年初中数学九年级上册 4.1 正弦和余弦 同步分层训练培优卷(湘教版) 一、选择题 1．（2023九上·嵊州期末）如图，在中，，若，，点是上一点，且，则的值为（　　）. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：如图：过D作，垂足为E ∵ ∴ ∵ ∴，即 ∴ ∵， ∴ ∵在中，，若， ∴ ∵ ∴，即 ∴. 故答案为：B. 【分析】过D作DE⊥BC，垂足为E，由已知条件可得AD=3CD，结合AC=AD+CD=8可得CD、AD的值，由勾股定理可得BD、BC，然后根据三角函数的概念进行计算. 2．（2023九上·江北期末）如图，在中，，，，则（　　） A． B． C．4 D． 【答案】B 【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：在中，，，， ， ， 解得：， ， 故答案为：B. 【分析】根据正切函数的概念可求出AC的值，然后利用勾股定理进行计算. 3．（2023九上·徐州期末）如图，在中，，，，则的正弦值为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：在中，，，， 故答案为：C. 【分析】利用勾股定理求出AC的值，然后根据三角函数的概念进行计算. 4．（2023九上·东阳期末）如图，在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧，与AB交于点D，再分别以A、D为圆心，大于AD的长为半径画弧，两弧交于点M、N，作直线MN，分别交AC、AB于点E、F，则AE的长度为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义；作图-线段垂直平分线 【解析】【解答】解： 在△ABC中，BC＝3，AC＝4，∠C＝90°， ∴， ∵BD=BC=3， ∴AD=AB-BD=5-3=2， 由题意可得MN是线段AD的垂直平分线， ∴AF=AD=1，∠AFE=90°， ∵cosA=， ∴， ∴. 故答案为：C. 【分析】首先根据勾股定理算出AB的长，进而根据线段的和差算出AD的长，根据线段垂直平分线的性质得AF=1，∠AFE=90°，进而根据余弦三角函数的定义可得cosA=，代入即可求出AE的长. 5．（2022九上·凤阳月考）如图，点A在x轴上，点B，C在y轴上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：D． 【分析】由，，可证，可得，从而得出，继而得出. 6．（2022九上·怀宁月考）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示出的值，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】余角、补角及其性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】，， ， ， ； 故正确的是B选项； 故答案为：B． 【分析】根据余角的性质可得，利用正弦函数的定义得，即可判断. 7．（2023九上·义乌期末）如图，矩形中，，E为的中点，将沿翻折得到，延长交于G，，垂足为H，连接、.以下结论：①； ②； ③；④，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义 【解析】【解答】解：①∵，E为的中点， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故①正确； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ③过点E作于点M，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得，， ∴， ∴， 故③正确； ④， 故④正确； 综上共有4个正确. 故答案为：D. 【分析】由翻折得AD=DF，AE=EF=2，∠AED=∠DEF，故AE=EF=BE，由等边对等角及三角形外角性质得∠AED=∠EBF，从而根据同位角相等，两直线平行得BF∥ ... ...