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课件网) 第二章 图形的轴对称 2.6 等腰三角形 第3课时 1.掌握等边三角形的性质与判定（重点） 2.能运用等边三角形的性质与判定解决相关问题 在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，这时三角形三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形. 思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？ 由等腰三角形的性质两个底角相等，我们可以推测等边三角形三个角都相等. （一）等边三角形的性质 已知：△ABC中，AB＝AC＝BC，试说明：∠A＝∠B＝∠C＝60°. A B C 解：因为AB＝AC，(已知) 因为∠A+∠B+∠C＝180°，(三角形内角和为180°) 所以∠A＝∠B＝∠C＝ ＝60°. 所以∠C＝∠B，(等边对等角) 同理 ∠A＝∠B， 所以∠A＝∠B＝∠C， 结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 等腰三角形有“三线合一”的性质，等边三角形有“三线合一”的性质吗？ 等边三角形是特殊的等腰三角形，三条边的长度相等，故而等腰三角形“三线合一”的性质在等边三角形中适用，且“三线合一”的性质对每条边都适用， 所以等边三角形“三线合一”的性质可以进一步表述为： 每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合. 同理，等边三角形有3条对称轴. 解：因为△ABC是等边三角形，BD是中线， 所以∠CDE=∠CED， 所以∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°， 例1.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，试说明：DB=DE． 所以∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30°. 又因为CE=CD， 又因为∠BCD=∠CDE+∠CED， 所以∠DBC=∠DEC． 所以DB=DE（等角对等边）. 1.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数． 解：因为△ABC是等边三角形， 所以∠C=60°. 因为AD是中线， 所以∠ADC=90°, ∠DAC=30 °， 因为AD=AE， 所以∠ADE=(180 °- ∠DAC) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°. 所以∠EDC=90 °- ∠ADE=90°-75°=15°. A B C 已知：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C ＝ 60°，求证：AB＝AC=BC. 所以AC＝BC,(等边对等角) 解：因为∠A＝∠B，(已知) 同理 AB＝AC， 所以AB＝BC＝AC， 所以△ABC是等边三角形. 结论：三个角都相等的三角形是等边三角形. 一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？ ①三条边相等的三角形是等边三角形，那三个角都相等的三角形是等边三角形吗？ （二）等边三角形的判定 ②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？ 已知：等腰三角形ABC中，存在一个角为60°，试说明：△ABC是等边三角形. A B C 解：当60°角为底角时， 因为等腰三角形两个底角相等， 所以三角形的顶角为180°-60°×2=60°， 所以该三角形是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）， 同理:当60°角是顶角时，三个内角相等均为60°， 所以有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°. 判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形. 归纳： 性质2：等边三角形每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合. 判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 性质3：等边三角形有3条对称轴. 例2.如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC，试说明：△ADE是等边三角形. 分析：结合平行线的性质，说明三个角相等即可说明三角形为等边三角形. A C B D E 解： 因为△ABC是等边三角形， 所以∠A=∠B=∠C. 因为DE//BC, 所以∠ADE=∠B, ∠AED=∠C. 所以∠A=∠ADE=∠AED. 所以△ADE是等边三角形. 2.已知：如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB，分别交AO、BO的延长线于点C、D．试说明：△OCD是等边三角形． 解：因为△ABO是等边三角形， 所以∠A=∠B=∠AOB=60°， 因 ... ...
