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课件网) 第五章 几何证明初步 5.6 几何证明举例 第1课时 1.证明角角边定理； 2.根据判定两个三角形是否全等，进而推证有关线段或角相等. 思考：在前面学过的全等三角形的四个判定方法中，判定1，2，4都已经作为基本事实.你有办法证明判定方法3吗？ 已知：如图，在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′B′，∠B=∠B′，∠C=∠C′； 求证：△ABC ≌ △A′B′C′. （一）证明角角边定理 A B C A′ B′ C′ 证明：在△ABC和△A′B′C′中， ∵∠B=∠B′，∠C=∠C′（已知）， ∴∠A=180°-∠B-∠C， ∠A′=180°-∠B′-∠C′（三角形内角和定理）， ∴∠A=∠A′（等量代换）， ∵AC=A′C′（已知）， ∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）. A B C A′ B′ C′ 这样，全等三角形的判定就有了基本事实SAS,ASA,SSS以及定理AAS，利用它们和全等三角形的对应边、对应角相等就可以进一步推证全等三角形的有关线段或角相等. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等. 今后，我们把全等三角形的判定方法3作为全等三角形的判定定理，即： 思考：在前面学过的全等三角形的对应角及对应边相等，那么两个全等三角形的对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的平分线有什么性质呢？ 以对应边的高线为例. 已知：如图，△ABC ≌ △A′B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′上的高. 求证：AD≌ △A′D′. （二）全等三角形的性质 A B D C 以对应边的高线为例. 已知：如图，△ABC ≌ △A′B′C′，AD,A′D′分别是BC,B′C′上的高； 求证：AD≌ △A′D′. A B D C 证明：∵AD,A′D′分别是BC,B′C′上的高，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°, ∵△ABC ≌ △A′B′C′， ∴AB=A′B′,∠B=∠B′ ∴△ABD≌△A′D′B′(AAS), ∴AD≌ △A′D′. 所以全等三角形对应边上的中线和对应角的平分线也可以利用这种方法得出相等的性质! 归纳总结： 全等三角形对应边上的中线、对应角的角平分线、对应边上的高线相等. 例1.已知：如图，AB=AC，DB=DC.求证：∠B=∠C. 证明：连接AD，在△ABD和△ACD中， ∵AB=AC，DB=DC（已知），AD=AD（公共边）， ∴△ABD≌△ACD(SSS)， ∴∠B=∠C. A C B D 方法总结： 在证明角相等或者线段相等时，可考察它们是否在给出的两个全等三角形中．如果不在，可通过添加辅助线构造全等三角形. 1.如图，已知：AB=AE，AB∥DE，∠ECB=70°,∠D=110°,求证：AC=ED． C A B D E 证明：由∠ECB=70°，可得∠ACB=110°, 又∵∠D=110°，∴∠ACB=∠D, ∵AB∥DE，∴∠CAB=∠E(两直线平行，内错角相等）, 在△ADE和△BCA中：∠ACB=∠D、∠CAB=∠E、AB=AE, ∴△ADE≌△BCA(AAS), ∴AC=ED . 例2.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为AC上的一动点(不与A重合)，在点E移动的过程中BE和DE是否相等？若相等，请写出证明过程；若不相等，请说明理由． 解：相等． 理由：在△ABC和△ADC中：AB=AD，AC=AC，BC=DC， ∴△ABC≌△ADC（SSS）. ∴∠DAE=∠BAE. 在△ADE和△ABE中：AB=AD，∠DAE=∠BAE，AE=AE， ∴△ADE≌△ABE（SAS），∴BE=DE. 2.如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE，CD交于O点，且AO平分∠BAC. 求证：OB=OC. 证明：∵ BE⊥AC，CD⊥AB， ∴∠ADC=∠BDC=∠AEB=∠CEB=90°. ∵AO平分∠BAC，∴∠1=∠2. 在△AOD和△AOE中：∠ADC=∠AEB，∠1=∠2，OA=AO， ∴△AOD≌△AOE（AAS）,∴OD=OE. 在△BOD和△COE中：∠BDO =∠CEO，OD=OE，∠BOD=∠COE, ∴△BOD≌△COE（ASA）,∴OB=OC. 思考：本节课你学到什么？ 1.利用基本事实SAS证明AAS. 2.全等三角形的作用：证明有关线段和角相等.全等三角形对应边上的中线、对应角的角平分线、对应边上的高线相等. ... ...
