(课件网) 1.3 线段的垂直平分线 第一章 三角形的证明 第1课时 线段的垂直平分线的性质与判定 如图，画一条线段 AB ，然后对折 AB，使 A， B 两点重合，设折痕与 AB 的交点为 O. 你发现了什么 我们把垂直且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线. A(B) B O A B 线段垂直平分线的性质 1 如图，点 P 是线段 AB 垂直平分线上的一点，AB 和 PC 相等吗 改变点 P 的位置，结论还成立吗 A P B C 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 你能证明这一结论吗？ 已知：如图，直线 l⊥AB，垂足为 C，AC = CB， 点 P 在 l 上. 求证：PA = PB． 证明：∵ l⊥AB， P A B l C 验证结论 ∴ PA = PB． ∴△PCA≌△PCB (SAS)． 又 AC = CB，PC = PC， ∴∠PCA =∠PCB． 线段垂直平分线的性质定理： 归纳总结 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若 △DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 ( ) A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．17.5 cm C 典例精析 解析：∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋CD＝35 cm，又 DE 垂直平分 AB， ∴ AD＝BD，故 BC＋AD＋CD＝35 cm. ∵ AC＝AD＋DC＝20 cm， ∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C. 方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长． 练一练： 1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 . B 10 cm P A B C D 图① A B C D E 图② 它是真命题吗？你能证明吗？ 线段垂直平分线的判定 定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 2 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 逆命题 想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？ 记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论 ① 当点 P 在线段 AB 上时， ∵ PA = PB， ∴ 点 P 为线段 AB 的中点， 显然此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上； ② 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示. ∵ PA = PB， ∴△PAB 是等腰三角形. 过顶点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C. ∴ 底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线. 即 PC⊥AB，且 AC = BC. ∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线， 此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： ∵ PA = PB， ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上． P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 归纳总结 例2 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，O 是△ABC 内一点，且 OB = OC. 求证：直线 AO 垂直平分线段 BC. 证明：∵ AB = AC， 你还有其他证明方法吗？ C A B O ∴ 直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线 (两点确定一条直线). 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线. ∴ A 在线段 BC 的垂直平分线上 (到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上). 证明：延长 AO 交 BC 于点 D. ∵ AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC， ∴△ABO≌△ACO (SSS). ∴∠BAO ＝ ∠CAO. ∵ AB＝AC， ∴ AO⊥BC. ∵ OB＝OC，OD＝OD， ∴ Rt△DBO≌Rt△DCO (HL). ∴ BD＝CD. ∴ 直线 AO 垂直平分线段 BC. C A B O D 试一试：已知：如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D，连接 CD. 求证：OE 是 CD 的垂直平分线. A B O E D C 证明： ∵ OE 平分∠AOB ... ...
