19.1 矩形的性质与判定（学生版+解析版）

中小学教育资源及组卷应用平台 19.1 矩形的性质与判定 【课前预习】 【知识点1 矩形的定义】 有一个角是直角的平行四边形是矩形． 【知识点2 矩形的性质】 ①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点． 【知识点3 矩形的判定方法】 ①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）. 【课堂互动】 【题型1 由矩形的性质求线段的长度】 【例1】如图，在矩形ABCD中，，对角线AC与BD相交于点O，DE⊥AC，垂足为点E，CE＝OE，则DE的长为（　　） A．4 B． C． D．2 【实训1-1】如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DF垂直平分OC，交AC于点E，交BC于点F，连接AF，若BD＝2，DF＝2，则AF的长为（　　） A． B．2 C． D．3 【实训1-2】如图，在矩形ABCD中，O是BD的中点，E为AD边上一点，且有AE＝OB＝2．连接OE，若∠AEO＝75°，则DE的长为（　　） A． B． C．2 D．22 【实训1-3】如图，矩形ABCD中，点E，F分别在AD，CD上，且CF＝2DF＝2，连接BE，EF，BF，且BF平分∠EBC，∠EFB＝45°，连接CE交BF于点G，则线段EG的长为 ． 【题型2 由矩形的性质求角的度数】 【例2】如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE大小是（　　） A．55° B．40° C．35° D．20° 【实训2-1】如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得∠EDF＝22°，则∠FDB的大小是（　　） A．22° B．34° C．24° D．68° 【实训2-2】如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边DC上，若AM平分∠DMB，则∠AMD的大小是（　　） A．45° B．60° C．75° D．30° 【实训2-3】如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的最大内角的大小是 ． 【题型3 由矩形的性质求面积】 【例3】我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为 ． 【实训3-1】如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1 S2；（填“＞”或“＜”或“＝”） 【实训3-2】如图，点E是矩形ABCD边AD上一动点，连接BE，以BE边作矩形BEFG，使得FG始终经过点C．若矩形ABCD的面积为s1，矩形BEFG的面积为s2，则s1与s2的大小关系是（　　） A．s1＜s2 B．s1＝s2 C．s1＞s2 D．不确定 【实训3-3】已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE＝BD，F为DE的中点，连接AF、CF． （1）求证：CF⊥AF； （2）若AB＝10cm，BC＝16cm，求△ADF的面积． 【题型4 矩形的性质与坐标轴的综合运用】 【例4】如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D． 【实训4-1】定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 【实训4-2】已知在矩形ABCD中，AB＝4，BC，O为BC上一点，BO，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点． （1）若点M的坐标为（1，0），如图1，以OM为一边作等腰△OMP，使点P在矩形ABCD的 ... ...