2024青岛版数学八年级下学期--专项素养综合全练（一）平行四边形及特殊平行四边形中的四种常考模型（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台 2024青岛版数学八年级下学期 专项素养综合全练(一) 平行四边形及特殊平行四边形 中的四种常考模型 模型一�———�半角”全等模型 1.【教材变式·P29T14】如图,在正方形ABCD中,点E在BC上,点F在CD上,连接AE、AF、EF,∠EAF=45°. (1)求证:DF+BE=EF. (2)过点A作AH⊥EF,垂足为H,求证:AH=AD. 模型二�———�十字架”模型 2.【教材变式·P37T16】【问题】如图,四边形ABCD是一个正方形花园,E、F是它的两个门,且DE=CF,要修建两条路BE和AF,请证明BE=AF,BE⊥AF. 【探究】去掉“DE=CF”这一条件. (1)若已知BE=AF,则BE⊥AF吗 请说明理由. (2)若已知BE⊥AF,则BE=AF吗 请说明理由. 模型三　对角互补模型 3.(2022吉林长春期末) (1)如图1,四边形ABCD中,∠ADC=∠B=90°,DE⊥AB,垂足为E,且AD=CD,DE=5,求四边形ABCD的面积.可作如下思考:过点D作DF⊥BC,交BC的延长线于点F,则有△ADE≌△CDF,由此可证DE=DF,进一步得出四边形DEBF的形状为　　　　,最后得出四边形ABCD的面积为　　　　. (2)如图2,四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°,AD=CD,BD=6,求四边形ABCD的面积. 　 模型四　含60°角的菱形 4.如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点E、F分别为AD、DC上的动点,∠EBF=60°,点E从点A向点D运动的过程中,AE+CF的长度(　　) A.逐渐增加 B.逐渐减小 C.始终与EF的长度相等 D.保持不变且与AB的长度相等 5.【新独家原创】如图,在菱形ABCD中,∠A=60°,点E,F分别在边AB,BC上,AE=BF, (1)若EF=2,求△DEF的周长. (2)若菱形ABCD的面积为8,求四边形DEBF的面积. 答案全解全析 1.证明　(1)如图,延长CB至点G,使BG=DF,连接AG. 因为四边形ABCD是正方形,所以AD=AB,∠D=∠ABE=90°, 所以∠ABG=90°.在△ABG和△ADF中,, 所以△ABG≌△ADF(SAS),所以AG=AF,∠GAB=∠DAF. 因为∠EAF=45°,所以∠GAE=∠BAE+∠GAB=∠BAE+∠DAF=45°,所以∠EAF=∠GAE.在△AEG和△AEF中, 所以△AEG≌△AEF(SAS),所以GE=EF, 所以DF+BE=BG+BE=GE=EF. (2)补全图形后,如图,由(1)得△AEG≌△AEF, 所以EG=EF,S△AEG=S△AEF,所以GE·AB=EF·AH,所以AB=AH, 因为AB=AD,所以AH=AD. 方法解读　当一个小角度数等于与其共顶点的大角度数一半时,可考虑“半角”全等模型.对于“半角”全等模型,一般情况下需要作辅助线(构造等角或旋转一定角度),构造全等三角形,利用全等三角形的性质得到相关结论. 2.解析　【问题】证明:因为四边形ABCD是正方形, 所以∠BAE=∠D=90°,AB=AD=CD,因为DE=CF,所以AE=DF, 所以△BAE≌△ADF,所以BE=AF,∠ABE=∠FAD. 因为∠ABE+∠AEB=90°,所以∠FAD+∠AEB=90°, 所以∠AOE=90°,所以BE⊥AF. 【探究】(1)BE⊥AF,理由如下: 因为四边形ABCD是正方形,所以∠BAE=∠D=90°,AB=AD, 因为BE=AF,所以Rt△BAE≌Rt△ADF(HL),所以∠ABE=∠FAD. 因为∠ABE+∠AEB=90°,所以∠FAD+∠AEB=90°, 所以∠AOE=90°,所以BE⊥AF. (2)BE=AF,理由如下: 因为四边形ABCD是正方形,所以∠BAE=∠D=90°,AB=AD, 因为BE⊥AF,所以∠AOE=90°,所以∠FAD+∠AEB=90°, 因为∠ABE+∠AEB=90°,所以∠ABE=∠FAD, 所以△BAE≌△ADF(ASA),所以BE=AF. 3.解析　(1)由题可知,∠F=∠B=∠DEB=90°, 所以四边形DEBF是矩形,所以∠EDF=90°. 因为∠ADC=90°,所以∠ADC=∠EDF,所以∠ADE=∠CDF, 因为∠AED=∠F,AD=CD,所以△ADE≌△CDF(AAS),所以DE=DF, 所以四边形DEBF是正方形,所以四边形ABCD的面积等于正方形DEBF的面积,所以四边形ABCD的面积为52=25.故填正方形;25. (2)如图,过点D作DF⊥BD,交BC的延长线于F,则∠BDF=90°,所以∠BDF=∠ADC,所以∠ADB=∠CDF.因为∠ADC=∠ABC=90°,所以∠A+∠BCD=180°,因为∠BCD+∠DCF=180°,所以∠A=∠DCF,又因为AD=CD,所以△ADB≌△CDF(ASA),所以BD=DF=6,S△ADB=S△CDF,所以S四边形ABCD=S△BDF.因 ... ...