专题14 复数的运算 学案(原卷版+解析版)

专题14 复数的运算 【题型01 复数的加法与减法】 【题型02 复数的乘法】 【题型03 复数加减的几何意义】 一、复数的加法 1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. 2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 二、复数的减法 1、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． 2、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 三、复数加法与减法的几何意义 1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线，以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)，这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数与向量等于）对应， 这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 四、复数的乘法 1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.，显然两个复数的积仍是复数． 2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 （1）z1·z2＝z2·z1(交换律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； （3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立． 【题型01 直接进行加减运算】 【典例1】已知复数z满足z＋1－3i＝5－2i，求z. 【答案】z＝4＋i 【解析】 法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)， 因为z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i， 即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i. 法二：因为z＋1－3i＝5－2i， 所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i. 【典例2】已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝_____. 【答案】3 【解析】由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数， 所以a2－2a－3＝0，a2－1≠0，)解得a＝3. 【题型02 需要设复数标准式的加减运算】 【典例1】设，（为虚数单位），且，则( ) A． B． C． D． 【答案】B【解析】由，，得， 又，，即． 【典例2】已知|z|＝4，且z＋2i是实数，则复数z＝_____． 【答案】±23－2i【解析】因为z＋2i是实数，可设z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16， 所以a2＝12，所以a＝±23，所以z＝±23－2i. 【题型03 复数加减的几何意义】 【典例1 ... ...