等腰三角形的性质与判定 一、选择题 1.等腰三角形的两边长分别为，，则该三角形的周长为（ ） A. B. C.或 D.以上都不对 2.等腰三角形的一个角是，则它的底角是( ) A. B. C.或 D.或 3.在等腰中，，中线将这个三角形的周长分成和两部分，则这个三角形底边的长为（ ） A. B. C.或 D.或 4.如图，已知，，的中垂线交于点、交于点．下列结论：①是的平分线；②是等腰三角形；③；④． 正确的有( )个． A. B. C. D. 5.如图，已知为等边三角形，若沿图中虚线剪去，则等于( ) A. B. C. D. 6.如图，将绕点顺时针旋转得，点的对应点恰好落在延长线上，连接．下列结论一定正确的是 A. B. C. D. 7.如图，点，，在一条直线上，，均为等边三角形，连接、，交于点，交于点，与交于点，连接.下列结论： ①；②；③为等边三角形。其中结论正确的有( ) A.个 B.个 C.个 D.个 二、填空题 8.如果等腰三角形的两边长分别为和，则它的周长为_____. 9.等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数为_____. 10.如果实数、满足，且、恰好是等腰的两边长，则的周长是_____. 11.如图，等腰中，，，的垂直平分线交于点，则的度数是_____. 12.如图，中，是上一点，，，则_____ 13.如图，一艘轮船由海平面上的地出发向南偏西的方向行驶海里到达地，再由地向北偏西的方向行驶海里到达地，则，两地相距_____海里． 三、解答题 14. 如图，已知中，，，，垂直平分，点为垂足，交于点． 求的周长； 求的度数． 15. （1）如图①，在中，平分，过点作.指出图中的等腰三角形，并说明理由． （2）如图②，在中， ，的平分线交于点，过点作．证明：. 16.已知：如图，在中，，的垂直平分线分别交，于，. 若，，求的周长； 若，求的度数. 17. 如图，是等边三角形，点在上，是等腰三角形，，，当时，求和的度数． 18.如图，点是等边内一点，是外的一点，＝，＝，，＝，连接． （1）求证：是等边三角形； （2）当＝时，试判断的形状，并说明理由； （3）探究：当为多少度时，是等腰三角形． 19. 如图，点是线段上一点，，都是等边三角形，交于点，交于． （1）求证：＝； （2）求证：是等边三角形； （3）将绕点按顺时针方向旋转，其它条件不变，在图中补出符合要求的图形，并判断（1）、（2）两小题结论是否仍然成立，并加以证明． 答案 一、选择题 B.C.C.B.B.C.B 二、填空题 8.或 9. 10. 11. 12. 13. 三、解答题 14. 解：∵ 是的垂直平分线， ∴ ， ∴ 的周长. ∵ ，， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 15.解：为等腰三角形 . 理由：∵ 平分， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等腰三角形 . ∵ 平分， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ . 同理：， ∴ . 16.解：∵ 是的垂直平分线， ∴ ， ∴ 的周长为： ． ∵ 的垂直平分线交，于，， ∴ ， ∴ . ∵ ， ∴ ， ∴ ． 17.解：当时， ∵ ，， ∴ ，， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ． 18. ∵ ， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ 是等边三角形． 是直角三角形． 理由如下： ∵ 是等边三角形， ∴ ＝， ∵ ，＝， ∴ ＝＝＝， ∴ ＝＝＝， ∴ 是直角三角形． ∵ 是等边三角形， ∴ ＝＝． ∵ ＝，＝＝， ∴ ＝＝＝， ＝＝， ∴ ＝＝＝． ①当＝时，＝， ∴ ＝． ②当＝时，＝， ∴ ＝． ③当＝时， ＝， ∴ ＝． 综上所述：当＝或或时，是等腰三角形． 19.∵ ，都是等边三角形， ∴ ＝，＝，＝＝， ∴ ＝， 在和中，， ∴ ， ∴ ＝； 由 证得：， ∴ ＝． 在和中，， ∴ ， ∴ ＝． ∵ ＝， ∴ 是等边三角形； （1）∵ ，都是等边三角形， ∴ ＝，＝，＝＝， ∴ ＝， 在和中，， ∴ ， ∴ ＝，＝， ∵ ＝ ∴ ， ∵ ， ∴ 不是等边三角形， ∴ （2）的结论成立，（3）的结论不成立． ... ...
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