专题五 幂、指、对函数 1．幂函数 （1）幂函数的定义 一般地，函数y＝xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． （2）几个常用的幂函数的图象与性质 定义 幂函数y＝xα(α∈R) 图象 α＞0 α＜0 性 质 (1)图象过点(0，0)和(1，1) 图象过点(1，1) (2)在第一象限内，函数值随x的增大而增大，即在(0，＋∞)上是增函数 在第一象限内，函数值随x的增大而减小，即在(0，＋∞)上是减函数 (3)在第一象限内，当α＞1时，图象下凸当0＜α＜1时，图象上凸 在第一象限内，图象都下凸 2．指数函数 （1）指数函数的定义 函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数． （2）指数函数的图象与性质 a>1 0
0时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，00，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数。 以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N， 以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N. （2）对数的性质与运算性质 对数的性质：loga1＝0，logaa＝1，(a>0，且a≠1，N>0)． 对数的运算性质：如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： ①loga(MN)＝logaM＋logaN； ②loga＝logaM－logaN； ③logaMn＝nlogaM(n∈R)．一般地，＝ logaM. （3）换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1)． （4）对数函数的图象与性质 y＝logax a>1 01时，y>0；当01时，y<0；当00 在(0，＋∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数 一 、幂的运算及幂函数 1．设，则下列运算中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确， 故选：D. 2．已知幂函数的图象过点，则的值为（ ） A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】D 【解析】设，则，解得，所以，所以，故选：D. 3．已知幂函数在上为单调减函数，则实数m的值为（ ）． A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】是幂函数，所以，当时，，在上递减，符合题意，当时，，在上递增，不符合题意，综上所述，的值为，D选项正确，故选：D. 二 、指数及指数函数 4．函数，（且）的图像必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由函数，令，则，所以函数必过点，故选：D. 5．若指数函数在是减函数，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】当，即时，该指数函数在是减函数，故选：B. 6．函数的值域是 ． 【答案】 【解析】因为，所以，所以，即，即所求函数的值域为，故答案为：. 三 、对数及对数函数 7．有以下四个结论，其中正确的是（ ） A． B． C．若，则 D． 【答案】B 【解析】因为，，所以A错误，B正确； 若，则，故C错误； ，而没有意义，故D错误， 故选：B. 8．已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以.则，所以，故选：B. 9．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得x的取值范围为：，所以函数的定义域为，故选：A. 10．化简式子等于（ ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【解析】原式，故选：A. 一、选择题 1．设a>0，则下列等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 , ,故B，C错误，D正确，由于 ，所以 ，故A 错误，故选：D. 2．幂函数的图象过点，则f(4)等于（ ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【解析】依题意，则，故选：B. 3．若，，则下列各式中，恒等的是 ... ... 