专题5.4 二次函数与一元二次方程 1．用图象法解一元二次方程 2．根据一元二次方程根的情况来判断抛物线与x轴的交点情况 类型一：求二次函数图象与x轴交点坐标 【例题1】 （2021·浙江·九年级期中） 1．已知抛物线y＝ax2﹣bx＋3经过点A（1，2），B（2，3）． （1）求此抛物线的函数解析式． （2）写出该抛物线与坐标轴的交点坐标． 【教材知识必背】 求抛物线与x轴的交点的横坐标 方法：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，令y＝0，则ax2＋bx＋c＝0，若它的解为x1，x2，则抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点的横坐标为x1，x2 【变式1-1】 （2021·陕西·汉滨高中九年级期中） 2．已知：二次函数． （1）求出函数图象的对称轴和顶点坐标，以及抛物线与轴、轴的交点坐标； （2）画出所给函数的图象； 【变式1-2】 （2020·江苏·宜兴外国语学校九年级月考） 3．已知，抛物线，若已知抛物线与x轴有一个交点A（1，0），另一交点B，求k的值及B点坐标． 【变式1-3】 （2021·湖北黄梅·九年级期中） 4．已知二次函数，它的图象与轴的交点为A，，则A、B两点坐标为 ． 类型二：已知二次函数的函数值求自变量的值 【例题2】 5．抛物线，当时，自变量的值为 ． 【教材知识必背】 已知二次函数的函数值求自变量的值 方法：对于抛物线y＝ax2＋bx＋c，将已知的函数值y=y1代入，则ax2＋bx＋c＝y1，解一元二次方程可得两个自变量的值x1，x2．． 【变式2-1】 （2021·广东·中山大学附属中学九年级期中） 6．如图，二次函数y=ax2+bx+c经过点A（-1，0），B（3，0），C（0，-3） （1）求该二次函数的解析式 （2）利用图象的特点填空：方程ax2+bx+c=-3的解为_____． 【变式2-2】 （2021·全国·九年级课时练习） 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+3与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线于点B、C，求BC的长． 【变式2-3】 （2021·北京大兴·九年级期中） 8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点． （1）点的坐标是_____； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．直接写出抛物线与直线围成的阴影图形中（不包括边界）所含的所有整点的坐标． 类型三：求x轴与抛物线的截线长 【例题3】 （2017·江苏·海安市曲塘中学附属初级中学九年级月考） 9．已知方程2x2﹣3x﹣5=0两根为，﹣1，则抛物线y=2x2﹣3x﹣5与x轴两个交点间距离为 ． 【变式3-1】 （2021·江苏·南通市启秀中学九年级月考） 10．已知抛物线与轴有两个交点A和，与轴交于点，顶点为点．若，求的值； 【变式3-2】 11．若抛物线的顶点坐标为，且它在轴截得的线段长为，则该抛物线的表达式为 ． 【变式3-3】 （2020·江苏·海安市海陵中学九年级期中） 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝－2x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点．若顶点C到x轴的距离为6，则线段AB的长为 ． 类型四：抛物线与x轴的交点问题 【例题4】 （2021·重庆一中九年级期中） 13．在平面直角坐标系中，若抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是 ． 【教材知识必背】 抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点个数 确定方法：（1）当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点； （2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点(顶点在x轴上)； （3）当b2－4ac<0时，抛物线与x轴没有交点． 【变式4-1】 （2021·浙江·杭州市十三中教育集团（总校）九年级期中） 14．已知函数y＝kx2﹣7x﹣7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A． B． C．且k≠0 D．且k≠0 【变式4-2】 （2022·安徽·合肥市第四十五中学九年级期中） 15．已知二次函数y=x2+mx+m-1（m为常数） （1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点； （2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点不在x轴的下方？ 【变式4-3】 （2021·福建省福州第一中学九 ... ...
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