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课件网) 2.2.2 完全平方公式 第1课时 完全平方公式 1.理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景. 2.经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识. 3.在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美. 【教学重点】 1.弄清完全平方公式的来源及其结构特点，用自己的语言说明公式及其特点. 2.会用完全平方公式进行运算. 【教学难点】 会用完全平方公式进行运算. 平方差公式：(a + b)(a－b) = a2－b2. 2.公式的结构特点： 左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差. 1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？ 计算下列各式，你能发现什么规律： ( a+1 )2=( a+1 )( a+1 )=a2+a+a+12=a2+2·a·1+12， ( a+2 )2=( a+2 )( a+2 )=a2+2a+2a+22=a2+2·a·2+22， ( a+3 )2=( a+3 )( a+3 )=a2+3a+3a+32=a2+2·a·3+32， ( a+4 )2=( a+4 )( a+4 )=a2+4a+4a+42=a2+2·a·4+42. 我们用多项式乘法来推导一般情况： ( a+b )2=( a+b )=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2. 思考 ( a-b )2= 把( a+b )2=a2+2ab+b2中的“b”换做“-b”，试试看. ( a-b )2=[a+( -b )]2=a2+2a( -b )+( -b )2=a2-2ab+b2. 我们把 ( a+b )2=a2+2ab+b2，( a-b )2=a2-2ab+b2. 都叫做完全平方公式，即两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加（或减）它们的积的2倍. 讨论 (a+b)2 = _____= _____= _____. a2+ 2ab + b2 (a+b) (a+b) a2+ ab + ab + b2 (a+b)2 = a2+ 2ab + b2 (a-b)2 =？ 将“b”换做“-b”，试试看 [a + (-b)]2 = a2 + 2a(-b) + (-b)2 = a2-2ab + b2 (a-b)2 = a2-2ab + b2 完全平方公式 两数和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍. (a+b)2 = a2+ 2ab + b2 (a-b)2 = a2-2ab + b2 4.公式中的字母 a，b 可以表示数，单项式和多项式。 1.积为二次三项式； 2.首项、末项为两数的平方和； 3.另一项是两数积的 2 倍，且与乘式中间的符号相同。 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2 倍放中央” 把一个边长为a+b的正方形按如图分割成4块，你能用这个图 来解释完全平方公式吗？ ab ab a2 b2 a b a b 由图可知，大正方形的面积为：( a+b )2； 分割成的四块的面积和为：a2+ab+ab+b2，即a2+2ab+b2. 由题可知，大正方形的面积与四个小正方形的面积相等，所以有( a+b )2=a2+2ab+b2. 讨论 【例】运用完全平方公式计算： （1）(3m+n)2 ; 解：（1）(3m + n)2 = ( 3m )2 + 2·3m·n + n2 = 9m2 + 6mn + n2 （2） . （2） = x2 - 2·x· + = x2 - x + 口诀：首平方，末平方，乘积的两倍在中间 注意：当二项式中两项符号相同时用完全平方和公式，当二项式中两项符号相反时用完全平方差公式； 拓展：三个数和的平方： (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 y2 (1) ( y + )2； = y2 + y + + + 2 y 解：( y + )2 = 1、运用完全平方公式计算： 解：(2x－3)2 = = 4x2 (2) (2x－3)2. ( a－b )2 = a2 － 2ab + b2 (2x)2 － 2×(2x)×3 + 32 － 12x + 9. 2．运用完全平方公式计算： （1） (x＋4)2； （2） (2a－3)2； （3）(5m - )2 解：（1） (x＋4)2 = x2+8x+16 （2） (2a－3)2 = (2a)2-2·2a·3+32 = 4a2-12a+9 （3）(5m- )2 = (5m)2-2·5m· + ( )2 = 25m2-5m+ 3、如果 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 是一个完全平方式，求 m 的值． 解：∵ 36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， ∴ (m＋1)xy＝±2×6x · 5y. ∴ m＋1＝±60. ∴ m＝59 或 m＝－61. 1.填空题： (x+3y)2=___ ... ...
