9.3 椭圆 椭圆的定义 数学表达式 椭圆的标准方程 焦点在轴上的标准方程 椭圆标准方程为： 焦点在轴上的标准方程 椭圆标准方程为： 椭圆中，，的基本关系 椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上 图形 标准方程 范围 顶点坐标 ， ， ， ， 长轴 长轴长，长半轴长 短轴 短轴长，短半轴长 焦点 ， ， 焦距 焦距，半焦距 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心为 离心率 离心率对椭圆的影响 越大，椭圆越扁 越小，椭圆越圆 ，圆 通径 （过椭圆焦点与坐标轴垂直的直线截得的弦长） 通径长：， 半通径长： 椭圆中的两个周长问题 考点1 判断构成椭圆的条件 【例1】“”是“方程表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用方程表示椭圆的条件列出不等式，再利用充分必要条件判断即可 【详解】若方程表示椭圆， 则满足 即且，此时成立，即必要性成立， 当m＝2时，满足，但此时方程等价为为圆，不是椭圆，不满足条件．即充分性不成立 故“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B． 【变式1-1】命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，则使命题p成立的充分不必要条件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由焦点在y轴上的椭圆方程和充分必要条件可解问题. 【详解】命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆， ，解得, 则使命题p成立的充分不必要条件是． 故选：A． 【变式1-2】“”是“方程表示的曲线为椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】解出方程表示的曲线为椭圆时的取值范围，再由集合间的包含关系即可得出结论. 【详解】若方程表示的曲线为椭圆，则， 解得或， 则“”是“方程表示的曲线为椭圆”的必要不充分条件， 故选：B． 【变式1-3】“”是“方程表示椭圆”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据方程表示椭圆，列出不等式组，求出的取值范围，然后根据题意和充分条件和必要条件的判断即可求解. 【详解】若方程表示椭圆，则有，解得且，因为且是集合的真子集， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件， 故选：B. 【变式1-4】．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆标准方程的特点，确定焦点在轴上的椭圆的特点列不等式，即可求得实数的取值范围. 【详解】解：方程表示焦点在轴上的椭圆， 则，解得，故实数的取值范围是. 故选：A. 考点2 求椭圆方程 【例2】已知圆，圆，动圆M与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心M的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】画图，分析出，确定圆心M的轨迹为椭圆，求出，得到轨迹方程. 【详解】如图，由题意得：，，其中， 所以， 由椭圆定义可知：动圆圆心M的轨迹为以为焦点的椭圆，设， 则，解得：， 故动圆圆心M的轨迹方程为. 故选：D 【变式2-1】已知的周长为20，且顶点，则顶点的轨迹方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件及椭圆定义求椭圆的标准方程. 【详解】错解： ∵△ABC的周长为20，顶点， ∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12， ∵12＞8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4， ∴b2＝20， ∴椭圆的方程是 故选：D. 错因： 忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件. 正解： ∵△ABC的周长为20，顶点， ∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12， ∵12＞8， ∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆， ∵a＝6，c＝4， ∴b2＝20， ∴椭圆的方程是 故选：B. 【变式2-2】椭圆M的左、右焦点分别为， ... ...
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