3.2.2奇偶性 第三课（学案+练习）（含解析）

3.2.2奇偶性 【第三课】 扩展1: 抽象函数的奇偶性 （2023上·山东济宁·高三统考期中）已知函数的定义域为R，满足，则下列说法正确的是（ ）． A．是偶函数 B．是奇函数 C．是偶函数 D．是奇函数 【答案】D 【解析】 【详解】求出和，即可得出结论. 由题意， 在函数中，， 当时，，解得：， B错误， 当时，，解得：， 但无法得到，故A错误； 在函数中， ，， ∴是奇函数，C错误，D正确. 故选：D. 【方法总结】解抽象函数不等式，先把不等式转化为f（g（x））＞f（h（x）），利用单调性把不等式的函数符号“f”脱掉，得到具体的不等式（组）． 【举一反三1-1】（2023上·山东青岛·高一统考期中） 1．函数为偶函数，且对任意，都有，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【举一反三1-2】（2023上·江西南昌·高一南昌二中校考期中） 2．定义在上的函数，满足对，都有，则下列结论正确的是（ ） A．函数的图象关于成中心对称 B．函数的图象关于直线轴对称 C．函数为奇函数 D．若时，，则时， 扩展2: 函数性质的综合应用 例2.（2023上·重庆·高一重庆十八中校考期中）（多选题）下列结论中错误的是（ ） A．函数是二次函数 B．函数既是偶函数又是奇函数 C．函数的单调递减区间是 D．所有的单调函数都有最值 【答案】CD 【分析】根据幂函数的定义判断A；根据函数奇偶性的证明方法判断B；根据函数的单调递减区间判断C；举函数判断D. 对于A，根据幂函数的定义，函数是二次函数，故A正确； 对于B，函数，由，解得， 所以函数的定义域为，关于原点对称，此时，， 所以函数既是偶函数又是奇函数，故B正确； 对于C，函数的单调递减区间是和，故C错误； 对于D，在上单调递增，但没有最值，故D错误， 故选：CD. 【方法总结】 1.综合应用奇偶性与单调性解题的技巧 ①比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小. ②不等式问题，解题步骤是①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“ ”，转化为解不等式（组）的问题. 2.综合应用奇偶性与周期性解题的技巧 ①根据已知条件及相关函数的奇偶性推出函数的周期； ②利用函数的周期性将自变量较大的函数值转化为自变量较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化； ③代入已知的解析式求解，即得欲求的函数值. 3.对于函数的对称轴、对称中心和周期，知道其中两个即可推得第三个. 4.要证明函数f（x）的图象关于x＝h对称，只需证明对定义域内的任意x，满足f（h－x）＝f（h＋x）. 5.要证明函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，只需证明对定义域内的任意x ，满足f（a＋x）＋f（a－x）＝2b. 【举一反三2-1】（2023上·河南·高一校联考期中） 3．已知函数，则下列说法正确的是（ ） A．在上，的最小值为4 B．在上，单调递减 C．为奇函数 D．在上，单调递增 【举一反三2-2】（2023上·云南昆明·高二昆明市第三中学校考开学考试） 4．已知函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式：． 扩展3: 新定义问题 例3.（2023上·湖北武汉·高一武汉市新洲区第一中学校联考期中）定义函数为实数x的小数部分，为不超过x的最大整数，则（ ） A．的最小值为0，最大值为1 B．在为增函数 C．是奇函数 D．满足 【答案】D 【分析】首先注意到，使得，结合函数新定义先得到是周期为1的周期函数，由此可以依次判断DBC选项，最后研究在上的最值情况即可. 对于D，因为，使得，此时， ，这表明了， ... ...