5 二次函数与一元二次方程 第1课时 二次函数与一元二次方程根的关系 ●情景导入 如图，以40 m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h(m)与飞行时间t(s)之间具有关系：h＝20t－5t2. 考虑以下问题： (1)球的飞行高度能否达到15 m？如能，需要飞行多长时间？ (2)球的飞行高度能否达到20 m？如能，需要飞行多长时间？ (3)球的飞行高度能否达到20.5 m？为什么？ (4)球从飞出到落地要用多少时间？ 解：(1)15＝20t－5t2，t1＝1，t2＝3，∴需要飞行1 s或3 s； (2)20＝20t－5t2，t1＝t2＝2，∴需要飞行2 s； (3)20.5＝20t－5t2，Δ＜0，方程无实数根，∴不能达到20.5 m； (4)0＝20t－5t2，t1＝0，t2＝4，∴要用4 s． 【教学与建议】教学：由学生熟悉的实例导入，激发学生的学习热情．建议：先让学生独立做题，再小组讨论，交流成果． ●类比导入 我们学习了关于x的一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)后，讨论了它们之间的关系，请同学们回顾一下它们二者之间有何关系？ 问题1：一次函数y＝x＋1的图象与x轴的交点为(__－1__，__0__)，一元一次方程x＋1＝0的解为__x＝－1__. 问题2：一次函数y＝－2x＋4的图象与x轴的交点为(__2__，__0__)，一元一次方程－2x＋4＝0的解为__x＝2__. 问题3：一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点与关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解有什么关系？ 一次函数y＝kx＋b的图象与x轴的交点的横坐标就是关于x的一元一次方程kx＋b＝0的解． 问题4：现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们之间是否也存在一定的关系呢？ 【教学与建议】教学：利用所学的一元一次方程kx＋b＝0(k≠0)和一次函数y＝kx＋b(k≠0)的关系进行回顾，为本课的学习做铺垫．建议：问题4让学生说出自己的想法，揭示课题． *命题角度1 根据二次函数与一元二次方程的关系解方程 不需要确定待定系数的值，观察图象，把握已知条件，寻找交点的横坐标． 【例1】函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－4＝0的根的情况是(A) A．有两个相等的实数根 B．有两个异号的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．没有实数根 【例2】已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为(D) A．x1＝－1，x2＝0 B．x1＝－1，x2＝1 C．x1＝1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝3 *命题角度2 运用交点式(两根式)确定二次函数的表达式 当二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标为(x1，0)(x2，0)时，把已知点的坐标代入y＝a(x－x1)(x－x2)列出一元一次方程，解方程求得a的值，再把a的值代入y＝a(x－x1)(x－x2)即可． 【例3】已知二次函数y＝ax2＋2ax－3的部分图象(如图)，由图象可知关于x的一元二次方程ax2＋2ax－3＝0的两个根分别是x1＝1.3和(D) A.x2＝－1.3 B．x2＝－2.3 C．x2＝－0.3 D．x2＝－3.3 【例4】已知抛物线y＝ax2＋bx＋2经过点(2，0)，(1，0)，则a＝__1__，b＝__－3__． *命题角度3 根据二次函数与一元二次方程的关系判断待定系数的范围 能根据抛物线图象确定待定系数的范围，有时会考查当x＝1或x＝－1时代数式a＋b＋c或a－b＋c的大小． 【例5】二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则下列说法正确的是(D) A．b2－4ac＞0 B．a＞0 C．c＞0 D．－＜0 【例6】函数y＝x2＋bx＋c与函数y＝x的图象如图所示，有以下结论： ①b2－4c＞0；②b＋c＝0；③b＜0；④方程组的解为⑤当1＜x＜3时，x2＋(b－1)x＋c＞0.其中正确的是(B) A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．②③⑤ 高效课堂 教学设计 1．经历探索二次函 ... ...
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