(课件网) 2.3 垂径定理 九年级下 湘教版 1.经历探索并证明垂径定理及其逆定理的过程，理解并掌握垂径定理及其逆定理. 2.运用垂径定理及其逆定理解决相关问题. 学习目标 重点 难点 如图，1400年前，我国隋代建造的赵州桥的桥拱是圆弧形，如果知道 它的跨度（弧所对的弦长），拱高（弧的中点到弦的距离），同学们思考一下怎样可以求出桥拱的半径呢？ 新课引入 在⊙O中，AB 是任一条弦，CD 是⊙O 的直径，且 CD ⊥ AB，垂足为 E. 试问：AE 与 BE， 与 ， 与 分别相等吗？ 新知学习 思考 因为圆是轴对称图形， 将 ⊙O 沿直径CD对折，AE 与 BE 重合， ， 分别与 , 重合， 即AE = BE ， , . 你能试着用学过的知识证明这个结论吗？ 连接 OA，OB. ∵ OA = OB， ∴ △OAB 是等腰三角形. ∵ OE ⊥ AB， ∴ AE = BE， ∠AOD =∠BOD. 从而∠AOC =∠BOC. ∴ ， 证明： ∵CD是直径，且CD⊥AB， ∴AM=BM. 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. 几何语言： ∴ 归纳 ●O A B C D M └ 过圆心 试一试 上面我们学习了垂径定理的文字语言描述如下： · O D E A B C 一条直线若满足: ①过圆心②垂直于弦 则③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 已知①② 可推出 ③④⑤ 猜想：已知①③ ？ ②④⑤ 猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧 · O D E A 图示： · O D A B C C B · O D E A B C · O D E A B C 被平分的弦是直径 被平分的弦不是直径 猜想1：如果有一条直径平分一条弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧 图示： · O D A B C 被平分的弦是直径 反例： · O D A B C 直径虽然平分弦但不垂直于弦 所以猜想1有问题，我们不妨要求被平分的弦不能是直径，提出猜想2再来研究一下是否成立 猜想2：如果有一条直径平分一条不是直径的弦，那么它就能垂直于这条弦，也能评分这条弦，也能平分这条弦所对的两条弧 已知：如图，CD 是⊙O 的直径，CD平分弦AB于点E. 求证：CD ⊥AB于点E ， = ， = · O D E A B C 证明： 连接 AO、BO，则 AO = BO. 在△OAB中，∵OA=OB ∴△OAB是等腰三角形. ∵CD平分弦AB于点E， ∴OE⊥AB于点E， 即CD⊥AB与点E. ∴ = ， = 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ∵ CD 是⊙O 的直径，CD平分AB于点E， ∴ CD ⊥ AB于点E， 数学语言： · O D E A C B 试一试：更换条件你还能证明吗？ 探究 ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 ⑤平分弦所对的劣弧 猜想3：已知①⑤ ？ ②③④ 猜想3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧. · O D E A C B 正确 已知 结论 命题 ①② ③④⑤ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 ①③ ②④⑤ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ①④ ②③⑤ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分这条弦，并且平分弦所对的另一条弧 ①⑤ ②③④ ②③ ①④⑤ 弦的垂直平分线过圆心，并且平分这条弦所对的两条弧 ②④ ①③⑤ 垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线过圆心，并且平分弦和所对的另一条弧 ②⑤ ①③④ ③④ ①②⑤ 平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心，垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧 ③⑤ ①②④ ④⑤ ①②③ 平分弦所对的两条弧的直线经过圆心，并且垂直平分弦 归纳 例1 下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直 是 不是，因为CD没有过圆心 O A B C A B D C O E A B O E C A B O C D E ①过圆心 ②垂直于弦 例2 如图，弦AB = 8 c ... ...
