第11章 图形的平移与旋转 综合与实践 哪条路径最短 基础过关全练 知识点1 用轴对称解决路径最短问题 1.【山东常考·最值问题】(2023山东菏泽巨野期中)如图,菱形ABCD的对角线AC=6,BD=8,点E为AB边的中点,点F、P为线段BC、AC上的动点,则PE+PF的最小值为( ) A.5 B.4.8 C.4.5 D.4 2.(2023山东菏泽单县期末)在平面直角坐标系中,点A、C分别在x轴、y轴上,四边形ABCO是边长为4的正方形,点D为AB的中点,点P为OB上的动点,连接DP,AP,当DP+AP的值最小时,点P的坐标为 . 3.如图,已知点A,B位于直线l的两侧,在直线l上找一点P,使|PA-PB|的值最大(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法). 知识点2 用平移解决路径最短问题 4.(2021山东潍坊昌邑期末)如图,A、B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,使从A到B的路径A→M→N→B最短的是(假设河的两岸是平行直线,桥要与河岸垂直)( ) A B C D 5.如图,某护城河在C处直角转弯,河宽相等,从A处经城内到达B处,需经过桥DD'和EE'(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西或南北方向的,如何建桥才能使路径A→D→D'→E'→E→B最短 能力提升全练 6.【山东常考·最值问题】(2023山东聊城莘县期中,12,★★)如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=3,动点P是矩形ABCD内一点,且满足S△PAB=S矩形ABCD,则PA+PB的最小值为( ) A. B. C.5 D. 7.(2022山东聊城茌平期末,12,★★)如图,在平面直角坐标系中,O为原点,点A,C,E的坐标分别为(0,4),(8,0),(8,2),点P,Q是OC边上的两个动点,且PQ=2,要使四边形APQE的周长最小,则点P的坐标应为( ) A.(2,0) B.(3,0) C.(4,0) D.(5,0) 8.【山东常考·最值问题】(2020山东聊城中考,17,★★)如图,在平面直角坐标系中,点A(1,1),B(3,3)是第一象限的角平分线上的两点,点C的纵坐标为1,且CA=CB,在y轴上取一点D,连接AD,BD,使得四边形ACBD的周长最小,这个最小周长为 . 素养探究全练 9.【推理能力】阅读材料,解决问题. 如图,为了求平面直角坐标系中任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)之间的距离,可以以AB为斜边作Rt△ABC,则点C的坐标为(x2,y1),于是AC=|x1-x2|,BC=|y1-y2|,根据勾股定理可得AB=,因此,可以将代数式的值看成平面内点(x1,y1)与点(x2,y2)之间的距离. 例:∵ = =, ∴可以将代数式的值看成平面内点(x,y)与点(-1,3)之间的距离. 根据以上材料解决下列问题: (1)求平面内点M(2,-3)与点N(-1,3)之间的距离. (2)求代数式+的最小值. 答案全解全析 基础过关全练 1.B 因为四边形ABCD是菱形,对角线AC=6,BD=8,所以AC⊥BD,OA=AC=3,OD=BD=4,所以AD==5.作E关于直线AC的对称点E',易知点E'在线段AD上,PE=PE',所以PE+PF=PE'+PF,所以当F、P、E'共线,且E'F⊥AD时,PE+PF最小,为E'F的长.此时S菱形ABCD=AC·BD=AD·E'F,所以×6×8=5E'F,解得E'F=4.8,所以PE+PF的最小值为4.8.故选B. 2.答案 解析 如图,连接CP.∵四边形ABCO是正方形,∴点A,C关于直线OB对称,∴AP=CP,∴DP+AP=DP+CP. 当点P、C、D共线时,PD+AP的值最小. ∵OC=OA=AB=4,∴C(0,4),A(4,0), ∵D为AB的中点,∴AD=AB=2,∴D(4,2). 设直线CD的解析式为y=kx+b(k≠0),∴解得 ∴直线CD的解析式为y=-x+4. 易知直线OB的解析式为y=x,∴解得 ∴P. 3.解析 如图,作点A关于直线l的对称点A',连接A'B并延长交直线l于P,则点P即为所求. 4.D 由题意可知桥MN的长等于河宽,只要保证AM+BN最短即可,如图,过A作河岸a的垂线AH,垂足为H,在直线AH上取点I,使AI等于河宽(I在A的下方).连接IB交直线b于N,过N作MN⊥直线a,垂足为M,连接AM,此时路径A→M→N→B最短.易知AI∥MN,AI=MN,∴四边形AINM为平行四边形,∴AM∥BN,故选D. 5.解析 如图,过点A作AF垂直于东西方向的河岸(F在A的下方),且AF等于河宽,过点B作BG垂直于南北方向的河岸(G在B的右侧) ... ...
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