第九章 图形的相似 8 相似三角形的性质 第一课时 相似三角形的性质定理1 基础过关全练 知识点1 相似三角形的性质定理1 1.(2023甘肃兰州十一中期末)两个相似三角形对应边之比为2∶3,那么它们的对应中线之比为 ( ) A.2∶3 B.3∶2 C.4∶9 D.9∶4 2.两个相似三角形对应角平分线的比不等于 ( ) A.相似比 B.对应高的比 C.对应中线的比 D.对应边平方的比 3.【新独家原创】将△ABC的三边分别扩大到原来的2倍得到△A'B'C',若△ABC一边上的高是4,则△A'B'C'中与之对应的高是 ( ) A.2 B.4 C.8 D.12 4.已知两个相似三角形对应角平分线的比为3∶10,且这两个三角形的一对对应高之差为56 cm,则这对对应高的长分别为 . 5.如图,△ABC∽△DAC,CE,CF分别是∠ACB和∠ACD的平分线,若DC=4,BC=9,求CE∶CF的值. 6.如图,△ABC∽△A'B'C',AD、A'D'分别是这两个三角形的高,EF、E'F'分别是这两个三角形的中位线,的值相等吗 为什么 7.【方程思想】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,正方形DEFC的顶点D、E、F分别在AC、AB、BC边上,连接AF,交DE于G,若AC=15,BC=10. (1)求正方形DEFC的边长. (2)求EG的长. 答案全解全析 基础过关全练 1.A 因为两个相似三角形对应边的比与对应中线的比相等,所以它们对应中线之比为2∶3.故选A. 2.D 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 3.C ∵将△ABC的三边分别扩大到原来的2倍得到△A'B'C', ∴△ABC∽△A'B'C',且相似比为1∶2, ∵△ABC一边上的高是4, ∴△A'B'C'中与之对应的高为4×2=8.故选C. 4. 答案 24 cm,80 cm 解析 ∵两个相似三角形对应角平分线的比为3∶10, ∴两个相似三角形的相似比为3∶10, ∴两个相似三角形的对应高的比为3∶10, 设较小三角形的高是3x cm,则较大三角形的对应高为10x cm, 根据题意,得10x-3x=56,解得x=8, ∴3x=24,10x=80, ∴这对对应高的长分别为24 cm,80 cm. 5.解析 ∵△ABC∽△DAC, ∴,即, ∴AC2=4×9=36, ∴AC=6(负值已舍去), ∴CE∶CF=BC∶AC=9∶6=. 6.解析 相等.理由如下: ∵△ABC∽△A'B'C', ∴, ∵EF、E'F'分别是这两个三角形的中位线, ∴, ∵AD、A'D'分别是这两个三角形的高, ∴. 7.解析 (1)∵四边形DEFC是正方形, ∴DE=DC,DE∥BC, ∴△ADE∽△ACB, ∴. 设正方形DEFC的边长为x, 则DE=DC=x,∴AD=AC-CD=15-x, ∴, 解得x=6, ∴正方形DEFC的边长为6. (2)∵四边形DEFC是正方形,且边长为6, ∴EF=6,EF∥AC,∴△EGF∽△DGA,∴. 设EG=y,则DG=6-y,∵AD=AC-DC=15-6=9, ∴,解得y=, ∴EG=.
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