第3课时 几何图形问题 ●情景导入 提起代数，人们自然就和方程联系起来，事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究．我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究，取得了重要成果．我国古代数学家研究过二次方程的解法，当时的解法虽然与现代的解法不同，但已与现代的解法相似. 下面是我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)．只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步”．答：“阔二十四步，长三十六步”．用已学过的知识解决这个问题． 解：设阔(宽)为x步，则长为(x＋12)步．根据题意，得x(x＋12)＝864.解得x1＝24，x2＝－36(舍去)． 【教学与建议】教学：在古代文献中有很多的方程应用型问题，题的内容来自生活，新颖有趣，有很高的数学价值和欣赏价值，通过本问题的引入，激起学生的学习兴趣．建议：引导学生积极思考问题，建立方程的思想． ●置疑导入 如图，小明把一张边长为20 cm的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折成一个无盖的长方体盒子． (1)如果要求长方体的底面面积为256 cm2，那么剪去正方形的边长为多少？ (2)如果按下表列出的长方体底面面积的数据要求，那么剪去的正方形的边长会发生什么样的变化？折成的长方体的体积又会发生什么样的变化？ 长方体的底面积 256 196 144 100 64 36 16 4 正方形的边长 2 3 4 5 6 7 8 9 长方体的体积 512 588 576 500 384 252 128 36 【教学与建议】教学：通过生活中的实际问题的导入，让学生感觉到数学与生活的联系，激起学生的学习兴趣．建议：让学生体会数学来源于生活，又应用于生活． 命题角度1 列一元二次方程解决等积变形问题 在列一元二次方程解决等积变形问题时，有三个等量关系：①图形周长改变，面积没变；②容器形状改变，但容积没变；③原料体积＝成品体积． 【例1】用一条长50 cm的绳子围成一个面积为200 cm2的矩形．设矩形的长为x cm，则可列方程为(B) A．x(25＋x)＝200 B．x(25－x)＝200 C．x(50＋x)＝200 D．x(50－x)＝200 命题角度2 列一元二次方程解决与几何图形面积相关的问题 构建方程解决几何问题的关键是找到相等的数量关系． 【例2】小明用30 cm的铁丝围成一斜边等于13 cm的直角三角形，设该直角三角形一直角边长x cm.根据题意列方程为__x2＋(30－13－x)2＝132__． 命题角度3 列一元二次方程解决存在性问题 列一元二次方程解决存在性问题的一般步骤：先假设结论存在或成立，然后根据题意列出方程．根据方程根的情况，证明假设是否成立． 【例3】如图，若要建一个长方形鸡场，鸡场的一边靠墙，墙对面有一个2 m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33 m. (1)若墙长为18 m，要围成鸡场的面积为150 m2，则鸡场的长和宽各为多少米？ (2)围成鸡场的面积可能达到200 m2吗？ 解：(1)设鸡场靠墙一边的长为x m．根据题意，得x(33－2x＋2)＝150.解得x1＝10，x2＝.当x＝10时，33－2x＋2＝15＜18，符合题意．当x＝时，33－2x＋2＝20＞18(不合题意，舍去).答：鸡场的长为15 m，宽为10 m； (2)假设能达到200 m2.设垂直于墙的一边长为x m．根据题意，得x(33－2x＋2)＝200.整理，得2x2－35x＋200＝0.∵Δ＝(－35)2－4×2×200＝－375＜0，∴此方程无解，∴围成鸡场的面积不可能达到200 m2. 命题角度4 列一元二次方程解决运动型问题 运动型问题一般根据“路程＝速度×时间”求出图形中相应边的长度，再列方程解决问题． 【例4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝30 cm，AC＝40 cm，点P从点C开始沿CA边以4 cm/s的速度向点A移动，同时，另一点Q从点C开始沿CB边以3 cm/s的速度向点B移动，几秒钟后，△PCQ的面积等于△ABC面积的？ 解：设x s后，△PCQ的面积等于△ABC面积的，则C ... ...
~~ 您好，已阅读到文档的结尾了 ~~
