第三章 圆 *3.3 垂径定理 学习目标： 1．理解垂径定理和推论的内容，并会证明，利用垂径定理解决与圆有关的问题；(重点) 2．利用垂径定理及其推论解决实际问题．(难点) 一、情境导入 问题:赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）. 要点探究 知识点一： 垂径定理及其推论 探究一 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使CD⊥AB，垂足为 M. (1) 右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？ (2) 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 归纳总结： 垂径定理： 典例精析 例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm. 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ （1） （2） （3） （4） 探究二 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M ． (1) 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ (2) 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. 归纳总结 垂径定理的逆定理： 例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD=600 m，E 为弧 CD 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m.求这段弯路的半径. 练一练 如图 a、b，一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm， 则弓形的高为＿＿cm. 二、课堂小结 1.已知⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm. 2.（分类讨论题）已知⊙O 的半径为 10 cm，弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 cm. 3.(朝阳区期末) 圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，且构造简单、施工方便.某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为 1 m 的圆，如图所示，若水面宽 AB = 0.8 m，求水的最大深度. 参考答案 小组合作，探究概念和性质 典例精析 例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm. 答案：16 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ （1） （2） （3） （4） 答案：（1）是（2）不是，因为没有垂直. （3）是 （4）不是，因为 AB，CD 都不是直径. 回顾导入 赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： 例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD=600 m，E 为弧 CD 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m.求这段弯路的半径. 练一练 如图 a、b，一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm， 则弓形的高为＿＿cm. 答案：2 或 12 cm 当堂检测 1.答：5 2.答：14 或 2 3. ... ...
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