*5 一元二次方程的根与系数的关系 ●情景导入 老师带着大家到法国观光旅游好不好？(出示多媒体)让学生在聆听理查德·克莱德曼的《致爱丽丝》中欣赏：法国文化———埃菲尔铁塔、时装秀、红酒文化、巴黎圣母院．文化是相通的，科学更是这样．在16世纪的法国，诞生了一位伟大的数学家韦达，他最早发现代数方程中根与系数之间的关系，这种关系称为韦达定理． 【教学与建议】教学：阅读了解历史中的现代数学之父———韦达，知道韦达定理．建议：提前让学生了解收集数学家韦达事迹和成就． ●归纳导入 (1)解下列方程，将得到的解填入下面的表格中． ①x2－5x＋6＝0；②x2＋3x－10＝0；③3x2－4x＋1＝0. 方程 x1 x2 x1＋x2 x1·x2 x2－5x＋6＝0 2 3 5 6 x2＋3x－10＝0 2 －5 －3 －10 3x2－4x＋1＝0 1 (2)x1＋x2与x1·x2的值与各方程中系数有什么关系？ (3)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x1＋x2与x1·x2的值是多少？ (4)归纳：x1＋x2＝－，x1·x2＝. 【教学与建议】教学：求一元二次方程的根，归纳根与系数之间的关系．建议：分小组计算． 命题角度1 已知方程一根求另一根 利用一元二次方程根与系数的关系求得两根之和或两根之积，然后代入已知一根求得另一根． 【例1】方程x2＋kx－6＝0的一个根是－3，则另一个根是__2__． 命题角度2 已知一元二次方程，求含根的代数式的值 不解方程，利用根与系数的关系代入求值计算即可． 【例2】(1)已知α，β是方程x2＋x－2 021＝0的两个根，则α2＋2α＋β的值为__2__020__． (2)已知m，n是方程2x2－x－7＝0的两个实数根，则m＋n－mn的值为__4__． 命题角度3 由两根的关系式求参数的值 先根据Δ≥0求得参数的取值范围，再把由根与系数的关系得到的两个式子代入题目中所提供的关系式，得到取值范围内参数的值． 【例3】(1)若α，β是关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0的两实根，且＋＝－，则m等于(B) A．－2 B．－3 C．2 D．3 (2)关于x的一元二次方程x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0有两个实数根，且满足x＋x＝4，则m的值是__－1或－3__． 命题角度4 知根求方程 若给出两根，则可以直接根据根与系数的关系列出方程． 【例4】(1)已知x1，x2是方程x2＋2ax＋b＝0的两根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则原方程是__x2－3x＋1＝0__． (2)甲、乙两同学解方程x2＋px＋q＝0时，甲看错了一次项系数，得到方程的根为4和－6；乙看错了常数项，得到方程的根为3和4，则原方程为__x2－7x－24＝0__． 高效课堂 教学设计 1．理解并掌握一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根x1，x2与系数a，b，c之间的关系． 2．会利用一元二次方程根与系数的关系解决有关问题． ▲重点 观察一元二次方程的两根之和、两根之积与原方程系数之间的关系． ▲难点 根与系数关系的应用． ◆活动1 创设情境 导入新课(课件) 数学与生活息息相关，前面，我们主要研究了一元二次方程的解法，请同学们回顾一下，一元二次方程的解法一共有几种？(多媒体出示) 1．一元二次方程的解法： (1)__配方法__；(2)__直接开平方法__；(3)__公式法__；(4)因式分解法． 2．利用因式分解法快速地求出下列方程的根． (1)x2－2x－3＝0； (2)x2＋4x＋3＝0； (3)x2－5x－6＝0; (4)x2＋7x＋12＝0. 解：(1)__(x－3)(x＋1)＝0，x1＝3，x2＝－1__； (2)__(x＋3)(x＋1)＝0，x1＝－3，x2＝－1__； (3)__(x－6)(x＋1)＝0，x1＝6，x2＝－1__； (4)__(x＋3)(x＋4)＝0，x1＝－3，x2＝－4__． 3．根据方程的根的情况，完成下列问题． (1)x2－2x－3＝0；x1＝__3__，x2＝__－1__，x1＋x2＝__2__，x1x2＝__－3__； (2)x2＋4x＋3＝0；x1＝__－1__，x2＝__－3__，x1＋x2＝__－4__，x1x2＝__3__； (3)x2－5x－6＝0；x1＝__6__，x2＝__－1__，x1＋x2＝__5__， ... ...
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