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课件网) *3.3 垂径定理 第三章 圆 问题:赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留 小数点后一位）. 探究一 如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使CD⊥AB，垂足为 M. 1 垂径定理及其推论 A B O C D M (1) 右图是轴对称图形吗？ 如果是，其对称轴是什么？ 圆的对称性： 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，圆的对称轴有无穷多条. 连接 OA，OB，则OA = OB. 在Rt△OAM 和Rt△OBM 中， ∵OA = OB，OM = OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM = BM. ∴点 A 和点 B 关于 CD 对称. A B O C D M 合作证明 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴. (2) 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. A B O C D M 证明：连接 OA，OB，则OA = OB. 在Rt△OAM 和Rt△OBM 中， ∵OA = OB，OM = OM， ∴Rt△OAM≌Rt△OBM. ∴AM = BM，∠AOC = ∠BOC. ∴∠AOD = 180°－∠AOC， ∠BOD = 180°－∠BOC. ∴∠AOD = ∠BOD. A B O C D M 垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧. ∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，(条件) 推导格式： 你能用几何语言表示吗？ 定义总结 ∴AM = BM， ， . (结论) 例1 如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，OE = 6 cm，则 AB = cm. · O A B E 解析：连接 OA. ∴ AB = 2AE = 16 (cm). 16 ∵ OE⊥AB， 典例精析 想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？ 是 不是，因为没有垂直. 是 不是，因为 AB，CD 都不是直径. O A B C A B O E A B D C O E A B O C D E 一条直线： ⑤平分弦所对的劣弧 ①过圆心 ②垂直于弦 ③平分弦 ④平分弦所对的优弧 思考探索 上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？ 垂径定理 A B O C D M 探究二 如图，AB 是⊙O 的弦（不是直径），作一条平分 AB 的直径 CD，交 AB 于点 M ． A B O C D M (1) 这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ (2) 你能发现图中有哪些等量关系？说一说你的理由. A B O C D M 解：(1) 连接 AO、BO，则 AO = BO. 又∵ AM = BM， ∴∠AMO =∠BMO = 90°. ∴ CD⊥AB. ∴△AOM≌△BOM(SSS). 证明举例 由垂径定理可得 归纳总结 垂径定理的逆定理 平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. · O A B C D “不是直径”这个条件能去掉吗？ 如果不能，请举出反例. 圆的两条直径是互相平分的. 特别说明： 垂径定理的本质是： 满足其中任两条，必定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分不是直径的弦 （4）这条直线平分不是直径的弦所 对的优弧 （5）这条直线平分不是直径的弦所 对的劣弧 知二推三 A B C D O h r d 赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系： 指圆心 O 到弦的距离 d + h = r 数量关系 总结 垂径定理往往转化成应用勾股定理解直角三角形 回顾导入 解得 R ≈ 27.3. 即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m. ∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52， 解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23. 由垂径定理，得 AD = AB = 18.5 ， 设⊙O 的半径为 R m. 在 Rt△AOD 中，AO = R， OD = R - 7.23，AD = 18.5. 由勾股定理，得 例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心)，其中 CD=600 m，E 为弧 CD 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m.求这段弯路的半径. 解:连接 OC. ● O C D E F ┗ ... ...
