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课件网) 第十九章 四边形 19.2 平行四边形 第3课时 1.掌握平行四边形的判定定理1 2.能利用判定方法解决相关几何问题 一、学习目标 二、新课导入 数学来源于生活，高铁被外媒誉为我国新四大发明之一，我们知道铁路的两条直铺的铁轨互相平行，那么铁路工人是怎样的确保它们平行的呢？ 思考：在数学中，我们要怎么确保一个四边形是否是平行四边形呢？ 三、概念剖析 思考：我们知道，如果一个四边形是平行四边形，那么它的任意一组对边平行且相等.反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 证一证：四边形ABCD中，AB=CD且AB∥CD，求证：四边形ABCD是平行四边形. 证明：连接AC. ∵AB∥CD， ∴∠1=∠2. 在△ABC和△CDA中, ∴△ABC≌△CDA(SAS)， ∴∠DAC=∠BCA ∴四边形ABCD是平行四边形(平行四边形的定义) ∴AD∥BC, A B C D AB=CD， AC=CA， ∠1=∠2， 2 1 平行四边形的判定定理1： 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 又∵AB∥CD, 三、概念剖析 归纳总结： 平行四边形判定方法：(定义法)两组对边分别平行的四边形是平行四边形； (定理1)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. B D C A ∵AB=CD，AB∥CD ∴四边形ABCD是平行四边形. 定理1的几何语言： 例1.如图， ABCD中，AC为对角线，G为CD的中点，连接AG并廷长交BC的延长线于点F，连接DF．求证：四边形ACFD为平行四边形． 四、典型例题 证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD∥BF ∵G是CD的中点 ∵在△ADG和△FCG中， ∴△ADG≌△FCG(ASA) ∴AD=CF ∴四边形ACFD是平行四边形. ∴∠ADG=∠FCG ∴DG=CG ∠ADG=∠FCG ∠AGD=∠CGF DG=CG 又∵AD∥CF 【当堂检测】 1.已知四边形ABCD，给出下列条件：①AB∥CD；②BC∥AD；③AB=CD；④∠A=∠C；从中任取两个条件，可以得出四边形ABCD是平行四边形这一结论的情况有（ ） A.5种 B.4种 C.3种 D.2种 B 平行四边形判定方法：定义法：两组对边分别平行； 判定定理1：一组对边平行且相等. 注意：角变化可以转化为线段平行. 【当堂检测】 2.如图，BD是△ABC的角平分线，点E，F分别在BC，AB上，且DE∥AB，BE=AF．求证：四边形ADEF是平行四边形． 证明：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD=∠DBE， ∵DE∥AB， ∴∠DBE=∠BDE， ∵BE=AF， ∵DE∥AF， ∴四边形ADEF是平行四边形. ∴∠ABD=∠BDE， ∴BE=DE； ∴AF=DE； 例2.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE，AD交BE于点O． (1)求证：AD与BE互相平分. (2)若AD⊥BE，DE=10，AD=12，DF= ，求BF的长. 分析：(1)连接BD，AE．根据平行线的性质得到∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE． 根据全等三角形的性质得到AB=DE，根据平行四边形的判定和性质即可得到结论． (2)利用(1)及勾股定理可求出OB，OF的长，即可得到BF的值. 四、典型例题 例2.如图，点B、F、C、E在一条直线上，AB∥DE，AC∥DF，BF=CE，AD交BE于点O．(1)求证：AD与BE互相平分. 证明:连接 BD，AE ∵AB∥ED， ∵AC∥FD， ∵FB=CE，BC=FB+OF，EF=CE+OC ∴BC=EF 在△ACB 和△DFE中， ∴∠ABC=∠DEF ∴∠ACB=∠DFE ∴△ACB≌△DFE（ASA） ∴AB=DE ∵AB∥ED ∴四边形ABDE是平行四边形 ∴AD与BE互相平分 四、典型例题 (2)若AD⊥BE，DE=10，AD=12，DF= ，求BF的长. 解：由(1)可知四边形ABDE是平行四边形 ∴AB=DE=10,AO=DO=6 ∵AD⊥BE ∴在△ABO中有AB2=AO2+OB2 在△FOD中有DF2=DO2+OF2 即102=62+OB2， ∴OB=8，OF=2 ∴BF=OB-OF=8-2=6 四、典型例题 方法归纳：根据题目所求找出所在平行四边形，根据平行四边形性质解题. 【当堂检测】 3.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，连接AF、CE．求证：AF=CE． 证明:∵AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC ... ...
