(课件网) 第一章 三角形的证明 1.4 角平分线 第1课时 1.会证明角平分线的性质定理及其逆定理（重点） 2.会应用角平分线定理解决简单问题（难点） 一、学习目标 要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺 1：20 000） S Ｏ 公路 铁路 二、新课导入 一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 我们先来回顾一下角平分线的概念， O B C A 1 2 三、概念剖析 如图∠1=∠2，OC是∠AOB的角平分线. 你知道如何得到 角平分线吗？ 可以折纸或尺规作图等 三、概念剖析 思考：利用折纸的方法可以得到角平分线，用尺规作图也可以作出角平分线，那你知道角平分线上的点有什么性质吗 写出已知、求证，然后再写出具体的证明过程. 如图，PE=PF 如何证明这个结论？ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）， ∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）. D P E A O B C ∠PDO=∠PEO， ∠AOC=∠BOC， OP=OP， ∴△PDO≌△PEO（AAS）， ∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）. 三、概念剖析 命题：角平分线上的点到角两边的距离相等 在△PDO和△PEO中， 求证：PD=PE. 角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等. 归纳： 定理应用所具备的条件： （1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离. 定理的作用：证明两条线段相等. 应用格式：∵OP是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE D P E A O B C 三、概念剖析 讨论：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 逆 命 题 思考：如何证明这个结论？ 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． P A O B C D E 三、概念剖析 已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明：作射线OP， ∵PD⊥OA，PE⊥OB. 在Rt△PDO和Rt△PEO中， OP=OP（公共边）， PD=PE（已知 ）， ∴Rt△PDO ≌ Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP. B A D O P E 三、概念剖析 ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴点P在∠AOB角的平分线上. 定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部，垂直距离（2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 归纳： P A O B C D E 应用格式：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE. ∴点P在∠AOB的平分线上. 三、概念剖析 四、典型例题 例1：我们把两组邻边相等的四边形叫做“筝形”.如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AB=CB，AD=CD.对角线AC、BD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分别是E，F.求证:OE=OF. 证明:在△ABD和△CBD中，AB=CB，AD=CD，BD=BD ∴△ABD≌△CBD(SSS)， ∴∠ABD=∠CBD， ∴BD平分∠ABC. 又∵OE⊥AB，OF⊥CB， ∴OE=OF. 分析：欲证明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通过全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的对应角相等得到∠ABD=∠CBD，即可得证. × 1.判断正误，并说明理由： （1）如图，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF. 解：错误，缺少∠AOP=∠BOP，无法得到PE=PF. A O B P E F （2）如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF. × A O B P E F 解：错误，缺少PE⊥OA，PF⊥OB，无法得到PE=PF. 总结：定理应用所具备的条件： (1)角的平分线；(2)点在该平分线上； (3)垂直距离. 【当堂检测】 2.已知:如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F. 求证:EB= ... ...
