(
课件网) 第 9章 多边形 9.1 三角形 9.1.2 三角形的内角和与外角和 学 习 目 标 1.通过操作活动，使学生发现三角形的内角和是180°; 2.会利用三角形的内角和求三角形中未知角的度数; （重点、 难点） 3.掌握三角形的外角的性质及外角和.（重点、难点） 新课导入 我是直角三角形，我的内角和最大 我有一个钝角，比你的三个角都大，所以我的内角和才是最大的 我虽然是锐角三角形，但是我的个头最大，所以我的内角和才是最大的 一天，三角形界就三角形内角和的大小展开了一场激烈的争论，请同学们为它们评判一下吧. 知识讲解 三角形内角和定理的证明 三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于180°. 小学时，我们就已经知道，任意三角形的内角和等于180°，我们是通过度量或简拼得到这一结论的. 你可以用推理的方法证明这一结论吗？ 三角形的三个内角拼到一起恰好构成一个平角. 观测的结果不一定可靠，还需要通过数学知识来说明.从上面的操作过程，你能发现证明的思路吗？ 还有其他的拼接方法吗？ 探究：在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在一起. 验证结论： 三角形三个内角的和等于180°. 求证：∠A+∠B+∠C=180°. 已知：△ABC. 证法1：过点A作l∥BC， ∴∠B=∠1. (两直线平行,内错角相等) ∠C=∠2. (两直线平行,内错角相等) ∵∠2+∠1+∠BAC=180°， ∴∠B+∠C+∠BAC=180°. 1 2 证法2：延长BC到D，过点C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 . (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2. (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180°， ∴∠A+∠B+∠ACB=180°. C B A E D 1 2 C B A E D F 证法3：过D作DE∥AC,作DF∥AB. ∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC. (两直线平行，同位角相等) ∠A+∠AED=180°, ∠AED+∠EDF=180°， (两直线平行，同旁内角相补) ∴ ∠A=∠EDF. ∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°， ∴∠A+∠B+∠C=180°. 想一想：同学们还有其他的方法吗？ 思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？ C A B 1 2 3 4 5 l A C B 1 2 3 4 5 l P 6 m A B C D E 借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角. 总结归纳 在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里，辅助线通常画成虚线. ★思路总结 为了证明三角形三个内角的和为180°,常将三个角转化为一个平角或同旁内角互补等，这种转化思想是数学中的常用方法. ★作辅助线 ★ 直角三角形的性质 探究：如图，在RT△中， ∠C=90° 那么两锐角的度数之和为多少 在Rt△ABC中，因为 ∠C=90° 由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=90° 即∠A +∠B=90°. 思考：由此，可以得到直角三角形的什么性质？ A B C A B C 直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余． 应用格式： 在Rt△ABC 中， ∵ ∠C =90°， ∴ ∠A +∠B =90°． 直角三角形的表示： 直角三角形可以用符号“Rt△”表示.如：直角三角形ABC 可以写成Rt△ ABC． 例2 如图，∠C=∠D=90 °，AD，BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？为什么？ A B C D E 解：在Rt△ACE中， ∠CAE=90 °- ∠AEC. 在Rt△BDE中, ∠DBE=90 °- ∠BED. ∵ ∠AEC= ∠BED， ∴ ∠CAE= ∠DBE. ★ 三角形的外角的性质 问题1 ：如图，△ABC的外角∠BCD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？ ∠BCD与∠ACB互补. 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 问题2 如图，△ABC的外角∠BCD与其不相邻的两内角(∠A、∠B)有什么关系？ ∠A+∠B=∠ACD 三角形的外角 A C B D 相邻的内角 不相邻的内角 因为∠ACD+∠ACB = 180°， ∠A +∠B +∠ACB = 180°， 所以∠ACD -∠A -∠B = 0（等量减等量，差相等） 于是∠ACD =∠A +∠B. 1.三角形的一个外角等于与 ... ...
