第9章 多边形 9.2 多边形的内角和与外角和 第2课时 多边形的外角和 教学目标 1.理解并掌握多边形的外角和定理，且能够证明它. 2.能够综合应用多边形的内角和、外角和定理解决有关的问题. 3.经历多边形的外角和定理的探究过程，进一步体会转化的数学思想. 教学重难点 重点：多边形的外角和公式. 难点：能利用内角和与外角和公式解决实际问题. 教学过程 导入新课 【问题】（学生自主完成，老师引导） 1.七边形内角和为 . 2.多边形内角和为1 260°，则它是 边形. 3.多边形内角和为1 800°，则它是 边形. 探究新知 合作探究 1.多边形的外角和 【问题】什么叫多边形的外角和？ 与多边形的每个内角相邻的外角分别有两个，这两个外角是对顶角，从与每个内角相邻的两个外角中分别取一个相加，得到的和称为多边形的外角和.如图(1)，∠1+∠2+∠3+∠4就是四边形ABCD的外角和. 2.多边形的外角和定理 多边形的外角和是否也可以用公式表示呢 下面我们来探讨. 探究一 如图(1)，四边形ABCD中，∠1，∠2，∠3，∠4分别是四个外角，求：∠1+∠2+∠3+∠4的度数. 因为∠1+∠DAB∠2+∠CBA∠3+∠DCB∠4+∠ADC180°， 又∠DAB+∠CBA+∠DCB+∠ADC360°（四边形内角和等于360°），所以∠1+∠2+∠3+∠4360°. 所以四边形的外角和等于360°. 探究二 根据n边形的每一个内角与和它相邻的外角互为补角，就可以求得n边形的外角和，填表： 多边形的边数345…n多边形的内角与外角的总和3×180° ＝540°4×180° ＝720°5×180° ＝900°…n×180°多边形的内角和180°360°540°…（n2）·180°多边形的外角和360°360°360°…360° 【归纳结论】任意多边形的外角和都为360°. 例3 一个多边形的每个外角都是 72°，这个多边形是几边形？ 【问题探索】任何多边形的外角和都是360°，用外角和除以每个外角的度数即可得到边数. 【解】设多边形的边数为n，根据题意，得 n· 72°360°. 解得n5. 因此，这个多边形是五边形. 【总结】此题主要考查了多边形的外角和，关键是掌握任何多边形的外角和都是360°. 例4 一个多边形的内角和等于它外角和的5倍，这个多边形是几边形？ 【问题探索】 多边形的内角和可以表示成（n2） 180°，外角和是固定的360°，从而可根据一个多边形的内角和等于它的外角和的5倍列方程求解. 【解】设多边形的边数为n，根据题意，得 (n2）·180°＝5×360°. 解得n＝12. 因此，这个多边形是十二边形. 【总结】多边形的外角和与边数无关，都等于360°，本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想.关键是记住内角和的公式与外角和的特征. 课堂练习 1.若正多边形的一个外角是60°，则这个正多边形的边数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7 2.当一个多边形的边数增加时，它的内角和与外角和的变化情况分别是（ ） A.增大，增大 B.增大，不变 C.不变，增大 D.不变，不变 3.如图，五边形ABCDE的一个内角∠A110°，则∠1+∠2+∠3+∠4等于（ ） A.360° B.290° C.270° D.250° 4.如果一个正多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个正多边形的边数为（ ） A.5 B.6 C.7 D.8 5.一个多边形所有内角与外角的和为1 260°，则这个多边形的边数是（ ） A.5 B.7 C.8 D.9 6.一个正多边形的一个外角等于它的一个内角的，这个正多边形是几边形？ 参考答案 1.C 2.B 3.B 4.D 5.B 6.解：设外角为x°，则内角为3x°， 由题意得x3x＝180， 解得x＝45. 360°÷45°＝8. 答：这个正多边形为八边形. 课堂小结 1.多边形的外角：多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角. 2.多边形的外角和：在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和. 3.多边形的外角和等于360°. 由于多边形的外角和等于360°，与边数无关，所以常把多边形内 ... ...
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