第19章 四边形 19.2 平行四边形 第3课时 平行四边形对角线的性质 教学目标 1.使学生掌握平行四边形对角线的性质. 2.让学生能够综合运用平行四边形的性质，并能够利用性质进行简单的推理计算. 教学重难点 重点: 理解并能够证明平行四边形的对角线互相平分. 难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的论证和计算. 教学过程 复习巩固 同学们，回忆一下我们已经学行四边形的哪些性质？ 答：1.平行四边形的两组对边分别平行; 2.平行四边形的对边相等； 3.平行四边形的对角相等，相邻两角互补； 4.平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心. 新课导入 一位饱经沧桑的老人，经过一辈子的辛勤劳动，到晚年的时候，终于拥有了一块平行四边形的土地．由于年迈体弱，他决定把这块土地平分给他的四个孩子，他是这样分的： 如何判断如图的四个小三角形面积相等？ 探究新知 在上一节课中，我们发现：平行四边形的对角线互相平分.这节课我们来证明它的正确性. 【活动探究】 如图,□ABCD的对角线AC,BD相交于点O.图中共有几对全等三角形？有 哪些线段相等？你发现平行四边形的对角线有什么性质？ 【学生活动】1.量一量，拿出手中的平行四边形纸片，测量出四条线段的 长度，看它们是否相等. 2.根据平行四边形的定义，进行推理论证，找出图形中的全等三角形利用全等三角形的性质证明图形中的相等线段. 【发现】图中的全等三角形有4对，分别是△ADC≌△CBA，△ABD≌△CDB, △AOD≌△COB, △AOB≌△COD;相等的线段有AD＝BC,AB＝CD,OA＝OC,OB＝OD. 【证明】 已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证:OA＝OC,OB＝OD. 证明:∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝CD，AB//DC， ∴ ∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO， ∴ △AOB≌△COD， ∴ OA＝OC,OB＝OD. 【总结】平行四边形的对角线互相平分. 例题讲解（小组探究，老师指导） 【例1】如图, 平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,AB⊥AC，AB＝3,AD＝5.求BD的长度. 【解】∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ BC＝AD＝5. ∵ AB⊥AC， ∴ △ABC是直角三角形. ∴ AC＝＝4，AO＝AC＝2. ∴ BO＝， ∴ BD＝2OB＝2 . 【教师活动】引导学生分析，要求线段BD的长度，根据平行四边形的性质，可以先求出BO的长度，这样先在Rt△ABC中求出AC，再利用平行四边形的性质及勾股定理求出AO，进而求出BO，问题解决. 【学生活动】根据老师提供的思路，先自主完成，再在小组内交流做题过程，进一步巩固平行四边形的对角线互相平分的性质. 【例2】如图，□ABCD的周长为60 cm，对角线AC，BD相交于点O，△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm，求这个平行四边形各边的长. 【教师活动】(引发学生思考)要求平行四边形各边的长,只需求出任意一组相邻两边的长，已知平行四边形的周长可求出平行四边形相邻两边长的和.△AOB与△DOA有一组公共边，一组相等的边，还有一组边是平行四边形的邻边，它们的周长差就是平行四边形相邻两边的差. 【学生活动】一名学生在黑板板书证明过程，其余的先独立完成，再交流纠正，总结本题中存在的一般性规律. 【解】∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. ∵ △AOB的周长比△DOA的周长长5 cm， ∴ AB-AD＝5 cm. 又∵□ABCD的周长为60 cm， ∴ AB+AD＝30 cm， ∴ AB＝CD＝ cm，AD＝BC＝ cm. 【总结】(学生总结，老师点评)平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于相邻两边边长之差. 【拓展延伸】（小组探究，老师指导） 【例3】如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F分别是AO，CO的中点，连接BE，DF，试判断线段BE，DF的关系并证明你的结论. 【教师活动】根据平行四边形的对角线互相平分得OA＝OC，OB＝OD，利用中点得出OE＝O ... ...
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