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课件网) 第 3 章 因式分解 第3章 因式分解 3.3 公式法 第2课时 利用完全平方公式进行因式分解 学 习 目 标 1 2 理解用完全平方公式进行因式分解，并能熟练地运用完全平方公式分解因式.（重点） 能综合运用提公因式法和完全平方公式对多项式进行因式分解．（难点） 知识回顾 提公因式法：ma+mb+mc=m(a+b+c) 平方差公式法：a2-b2=(a+b)(a-b) 练习 把下列各式分解因式: ① ② x4-16 解:原式=ax2(x2-1) =ax2(x+1)(x-1). 解:原式=(x2+4)(x2-4) =(x2 +4)(x+2)(x-2). 因式分解学过了哪些方法？ 有公因式，先提公因式 因式分解要彻底 (a+b)2 = ， a2+2ab+b2 (a-b)2 = . a2-2ab+b2 我们知道，因式分解是整式乘法的反过程，逆用乘法公式，我们得到了因式分解的两种方法：提取公因式法、平方差公式法.现在，大家自然会想，还有哪些乘法公式可以用来分解因式呢？ 完全平方公式 知识讲解 你能将多项式a2+2ab+b2 或a2-2ab + b2进行因式分解吗？ 动脑筋 我们学过完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2= a2-2ab+b2 . 将完全平方公式从右到左地使用，就可以把形如这样的多项式进行因式分解. 例如， x2+4x+4 = x2+2·x·2+22 = (x+2)2 . a2+2·a·b+b2 = (a+b)2 因式分解的完全平方公式 语言叙述：两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方. 注意：公式中的既可以是单项式，也可以是多项式. 能用完全平方公式分解因式的多项式的特点 我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式. 观察发现： 1.是三项式（或可以看成三项）； 2.有两个同号的数或式的平方； 3.中间是这两个数的积的±2倍. 凡具备这些特点的三项式，就是完全平方式. 试一试 下列各式是不是完全平方式？ （1）; （2）; （3）; （4）; （5）; （6）. 是 （2）不是，因为4不是与2乘积的2倍. 是 （4）不是，不是与乘积的2倍. （5）不是，与－9的符号不统一. 是 例1 把 9x2-3x+ 因式分解. 分析 9x2 = (3x)2 ， ，3x = 2·3x· ， 原式即可用完全平方公式进行因式分解. 解： 9x2-3x+ 例2 把-4x2+12xy-9y2 因式分解. 解： -4x2+12xy-9y2 = -[(2x)2-2·2x·3y+(3y)2] = -(4x2-12xy+9y2) = -(2x-3y)2. 例3 把a4+2a2b+b2因式分解. 解 a4+2a2b+b2 = (a2)2 + 2 · a2 · b + b2 = (a2+b)2. 例4 把x4-2x2+1 因式分解. 解 x4-2x2+1 = (x2)2-2·x2·1+12 = (x2-1)2 = [(x+1)(x-1)]2 = (x+1)2(x-1)2. 解：(1)原式=3a（x2+2xy+y2） =3a（x+y）2. 例5 因式分解： (2. (1)3ax2+6axy+3ay2 ； 有公因式，先提公因式 例6 把下列完全平方公式分解因式： (1)1002－2×100×99+99 ； (2)342＋34×32＋162. 解：(1)原式=（100－99) (2)原式＝(34＋16)2 =1. ＝2500. 1.具有完全平方形式的多项式才可运用完全平方公式分解因式. 2.公式 中的字母 可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用. 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式. 4.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止. 结论 随堂训练 1.下列四个多项式中，能因式分解的是( ) A．a2＋1 B．a2－6a＋9 C．x2＋5y D．x2－5y 2.把多项式4x2y－4xy2－x3分解因式的结果是( ) A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2 C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2) B B 3.已知 是一个完全平方式，则= 4.已知 2, 求 的值. ±12 解: 由得 +ab 5.把下列多项式因式分解. （1）x2-12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; (3) y2+2y+1-x2. (2)原式=[2(2a+b)] - 2·2(2a+b)·1+1 =(4a+2b- 1)2. 解：(1)原式 =x2-2·x·6+62 =(x-6)2. (3)原式=(y+1) -x =(y+1+x)(y+1-x). 6.已知,求 的值. 解：由 得 ∴. ∴ =(-2 ... ...
