中小学教育资源及组卷应用平台 (总课时10)§1.4角平分线（2） 【学习目标】能证明三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等. 【学习重难点】利用角平分线的性质定理及判定定理进行相关的证明与计算. 【导学过程】 一.知识回顾 1.角形角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 用途：证明两条线段相等依据之一. 2.角形角平分线判定定理：在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 用途：证明点在直线上(或直线经过某一点)依据之一. 二.探究新知 1.折一折：拿一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.观察这三条角平分线,你发现了什么 结论:三角形三个角的平分线相交于一点. 2.做一做：利用尺规作出三角形三个角的角平分线，观察这三条角平分线,你又发现了什么 结论:三角形三个角的角平分线相交于一点. 3.命题:三角形的三条角平分线相交于一点；并且这一点到三边的距离相等. 已知：已知：如图1，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P， 求证：P点在∠BAC的角平分线上． 证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，其中D、E、F是垂足． ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．同理：PF=PE．∴PD=PF． ∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)． ∴△ABC的三条角平分线相交于点P．且有：PD=PE=PF 结论：三角形的三条角平分线相交于一点；并且这一点到三边的距离相等. 三.典例与练习 例1.如图2，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． (1)已知CD=4cm，求AC的长；(2)求证：AB=AC+CD． 解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB,∴DE=CD=4cm， 又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC， 又∵∠C=90°，∴∠B=∠BDE=45°，∴BE=DE, 在等腰Rt△BDE中，由勾股定理得，BD=4cm ∴AC=BC=CD+BD=4+4(cm). (2)由(1)的求解过程易知:Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE ∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD. 练习1.已知：如图3，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°， 求证：AE=AD+BE 证明：过点C作CF⊥AD，交AD的延长线于点F ∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD∴CE＝CF，AE＝AF，∠CEB＝∠CFD＝90° ∵∠B+∠ADC＝180°,∠CDF+∠ADC＝180°∴∠B＝∠CDF∴△CBE≌△CDF（AAS）∴DF＝BE ∵AF＝AD+DF∴AF＝AD+BE,∴AE＝AD+BE 例2.直线l 、l 、l 表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ 满足条件的有4处： （1）三角形两个内角平分线的交点，共一处； （2）三个外角两两平分线的交点，共三处． 练习2.如图4，已知Rt△ABC，∠C=90°，三内角平分线的交点P， PD⊥BC于D点，PE⊥AB于E点，PF⊥AC于F点，求证：PD=（a+b-c） 证明：∵PD=PE=PF，∴由等面积易得ab=(a+b+c)×PD 即(a+b)2-a2-b2=2(a+b+c)×PD (a+b)2-c2=2(a+b+c)×PD，(a+b+c)(a+b-c)=2(a+b+c)×PD ∴PD=(a+b-c) 练习3.已知：如图5，P是么AOB平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D． 求证：(1)OC=OD； (2)OP是CD的垂直平分线． 证明：(1)P是∠AOB角平分线上的一点，PC⊥OA，PD⊥OB， ∴PC=PD(角平分线上的点到角两边的距离相等)． 在Rt△OPC和Rt△OPD中，OP=OP，PC=PD，∴Rt△OPC≌Rt△OPD(HL)． ∴OC=OD(全等三角形对应边相等)． (2)∵OP是∠AOB的角平分线，∴OP是CD的垂直平分线(等腰三角形“三线合一”)． 四.课堂小结 三边垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点距离相等 到三边的距离相等 五.分层过关 1.下列结 ... ...
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